最速降線方程的推導(dǎo).pdf

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1、尋找一種平面曲線，若按這種曲線的形狀做成光滑的軌道，那么從軌道上不同位置處同時(shí)靜止釋放的小球，會(huì)同時(shí)下滑到軌道底部，如圖所示。A、B、C同時(shí)靜止釋放，同時(shí)下滑到最低點(diǎn)O。θ分析：由于簡諧運(yùn)動(dòng)的周期與振幅無關(guān)，因此，只要物體沿著軌道的方向上做簡諧運(yùn)動(dòng)，即可使不同位置同時(shí)靜止釋放的小球同時(shí)到達(dá)平衡位置O。這里所述的簡諧運(yùn)動(dòng)，并不是嚴(yán)格意義上的簡諧運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)不在同一直線上，而是沿著軌道表面。設(shè)曲線方程為y=f(x)，且最低點(diǎn)位于y軸上。那么當(dāng)質(zhì)量為m的物體運(yùn)動(dòng)到曲線上的點(diǎn)（x，f(x))時(shí)，所受下滑力F=-mg·sinβ其

2、中β是（x，f(x))處的切線的傾角。?????由于......①所以物體從點(diǎn)（x，f(x))下滑到最低點(diǎn)（0，f(0))所要走過的路程......②這里的路程相當(dāng)于簡諧運(yùn)動(dòng)的位移。簡諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力F與位移S之間滿足F=-kS(k>0)將①、②代入上式得設(shè)（z∈[0,1)），則，上式化為等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo)得即等號(hào)兩邊積分得......③由于當(dāng)x=0時(shí)，回復(fù)力，所以當(dāng)x=0時(shí)，z=0。將x=0，z=0代入③得C=0所以為了去掉上式等號(hào)右邊的反正弦和根號(hào)，設(shè)z=sinα，α∈（0，π/2），得到令θ=2α，代入上式得.....

3、.④?x=x(θ)上式為x與θ的關(guān)系，若能求出y與θ的關(guān)系y=y(θ),便能得到曲線的參數(shù)方程??y=y(θ)由可知。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：......⑤由④得......⑥⑥代入⑤得上式等號(hào)兩邊積分得若曲線經(jīng)過原點(diǎn)，則積分常數(shù)，此時(shí)。所以所求曲線的參數(shù)方程為，θ∈[0,π/2]。利用曲線的參數(shù)方程不難看出所求曲線是擺線的一段。