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1、最速降線問題“想象一個小球，僅受重力，從點(diǎn)A出發(fā)沿著一條沒有摩擦的斜坡滾至點(diǎn)B。怎樣設(shè)計(jì)這條斜坡，才能讓小球在最短的時間內(nèi)到達(dá)點(diǎn)B？”這個在數(shù)學(xué)史上被稱為“最速降線”的知名問題，最早是由著名的意大利科學(xué)家伽利略（GalileoGalilei）于1630年提出來的。他在研究后認(rèn)為最速降線應(yīng)該是圓弧，但可惜的是這個答案并不是正確的。時間又過了60多年，1696年6月，來自瑞士巴塞爾（Barsel，這座城市不僅是數(shù)學(xué)世家伯努利的故鄉(xiāng)，也是歐拉的故鄉(xiāng)，有一個由歐拉解決的著名數(shù)論問題就是以這座城市命名的）的約翰?伯努利（JohannBernoulli）在《教師學(xué)報》（ActaEruditoru
2、m）上又重新提出這個問題，并向全歐洲的數(shù)學(xué)家提出公開挑戰(zhàn)。這個別出心裁卻又十分容易理解的問題吸引了當(dāng)時全歐洲的數(shù)學(xué)家，而最后給出了正確解答的人也都是數(shù)學(xué)史上赫赫有名的巨人。這也讓這次挑戰(zhàn)成為了數(shù)學(xué)史上最激動人心的一場公開挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)家之間公開挑戰(zhàn)的傳統(tǒng)要追溯到16世紀(jì)在意大利的博洛尼亞（Bologna）。16世紀(jì)初的博洛尼亞曾是歐洲數(shù)學(xué)思想的大熔爐，全歐洲的學(xué)生都會來到博洛尼亞大學(xué)。他們甚至還“發(fā)明”了一項(xiàng)新的觀賞運(yùn)動——數(shù)學(xué)比賽。這聽起來有些匪夷所思，但在當(dāng)時確實(shí)有大批的觀眾從各地涌來，圍觀數(shù)學(xué)家們互相之間用數(shù)學(xué)斗法。其中最有名的一次，是在塔塔里亞（Tartaglia）和費(fèi)奧（Fio
3、r）間上演的，是一場關(guān)于求出一元三次方程通解的世紀(jì)智力大戰(zhàn)。言歸正傳，在約翰?伯努利發(fā)出挑戰(zhàn)后的半年里，他收到的唯一一份答案來自《教師學(xué)報》的主編，他的老師萊布尼茨（GottfriendWilhelmLeibniz）。在萊布尼茨的要求下，他將接受答案的最后期限推遲到1697年的復(fù)活節(jié)，以便有更多的數(shù)學(xué)家能參與到這場挑戰(zhàn)中來。我們都知道，過兩點(diǎn)的直線段是兩點(diǎn)間的最短路徑。但使質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動時間最短的運(yùn)動軌跡，卻不是那么的顯而易見。這個問題和以往人們見過的那些求極值的問題是有本質(zhì)區(qū)別的。借助微積分，人們可以求出一個函數(shù)的極值；但最速降線問題要求的并不是某個傳統(tǒng)函數(shù)的極值點(diǎn)，而是要在一簇曲線（
4、過A、B兩點(diǎn)的所有曲線）中，求出能讓質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時間最短的那條。這是一個以函數(shù)（小球的運(yùn)動軌跡）為自變量，以實(shí)數(shù)（小球運(yùn)動的時間）為函數(shù)值的函數(shù)，也就是所謂的泛函。我們要求的就是這樣一個泛函的極值。正如后文將要介紹的那樣，這類問題形成了一個全新的數(shù)學(xué)分支——變分學(xué)。1697年的復(fù)活節(jié)很快就到了，約翰?伯努利一共收到了五份正確答案。這五份答案分別來自他自己，他的老師萊布尼茨，他的哥哥雅各布?伯努利（JakobBernoulli），他的學(xué)生洛必達(dá)（GuillaumeFrancoisAntoniedeL'Hospital），還有一位來自英國的匿名數(shù)學(xué)家。最后這份答案雖然沒有署名，但顯然出自赫赫
5、有名的牛頓（IssacNewton）之手。雖然五人的解法各不相同，但他們的答案全都一樣——最速降線就是擺線。同一個答案所謂擺線（cycloid），就是當(dāng)圓沿一條直線運(yùn)動時，圓周上一定點(diǎn)所形成的軌跡。其實(shí)當(dāng)時的數(shù)學(xué)家對這種曲線并不陌生，帕斯卡和惠更斯都曾研究過這一重要的曲線。但大部分人都沒有想到，這條線同時也是人們苦苦追尋的最速降線。而我們大家對擺線也不陌生。還記得小時候玩過的那種能夠畫出各種漂亮曲線的玩具嗎？一塊塑料板上開著幾個圓形的大洞，還有幾塊較小的圓形塑料片，不同半徑處留有一些孔。把這些看似普通的小圓片放進(jìn)大圓孔中，再將圓珠筆插在小孔里并帶動小圓片沿著大圓的圓周運(yùn)動，就能在紙上
6、留下各種美麗的曲線。這些曲線也都是擺線，只不過是另一種被稱為“內(nèi)擺線”（hypocycloid）的擺線。它們是由給定圓在另一個圓內(nèi)運(yùn)動時，圓周上一定點(diǎn)形成的軌跡。不同的解法讓我們回到眾人給出的最速降線的解法上。萊布尼茨、牛頓、洛比達(dá)都是用他們擅長的微積分來解決這個問題的。伯努利兄弟的解法就值得特別地說一說了。約翰的解法應(yīng)該是最漂亮的解法了。他利用了費(fèi)馬原理（Fermat'sprinciple），將小球的運(yùn)動類比成光線的運(yùn)動。費(fèi)馬原理又叫做“最短光時”原理，說的是光線在傳播時總會選擇光程極短的那條路徑。那么，“最速降線”就是在光速隨高度下降而增加（加速度恒為重力加速度g）的介質(zhì)里光線傳
7、播的路徑。用這樣的類比思想，約翰成功地算出了這條曲線就是前面提到的擺線。這種解法出人意料地用到了費(fèi)馬原理，實(shí)在是太巧妙了！在物理學(xué)中，費(fèi)馬原理被認(rèn)為是“最小作用量原理”（principleofleastaction）在幾何光學(xué)中的特例。而最小作用量原理則是物理學(xué)定律普遍遵循的規(guī)律，甚至被稱為“物理定律的定律”。不知你想過沒有，當(dāng)我們將一個小球拋出后，它為什么會沿著所謂的拋物線運(yùn)動？你可能會說，因?yàn)樾∏蛑皇苤亓ψ饔?，根?jù)牛頓第一定律，它在水平方向上速度恒定不
