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《最速降線問題》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、理論力學(xué)教學(xué)研究論文，謝建華，2008.01.28最速降線問題解的充分性是如何證明的？謝建華(西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系，成都，610031)摘要：本文利用可動邊界的變分公式,通過廣義環(huán)路積分統(tǒng)一表示變分法中的若干基本原理,如Hilbert不變積分和包絡(luò)定理等，在此基礎(chǔ)上說明了最速降線問題解的充分性。關(guān)鍵詞：最速降線；旋輪線；變分法；充分性；力學(xué)史Howtoprovethesufficientconditionforthebrachistochroneproblem?XieJianhua(DepartmentofAppliedMechanicsan
2、dEngineering,SouthwestJiaotongUniversity,Chengdu,610031,China)Abstract:Thepaperusesthevariationformulaformovingboundariesandunifiesseveralbasicprinciplesinthecalculusofvariations,suchasHilbert’sinvariantintegralandenvelopetheorem,etc.,bymeansoftheintegralonclosedpathofspecialty
3、pe,thenprovesthesufficientconditionforbrachistochroneproblem.KeyWords:brachistochroneproblem;cycloid;calculusofvariations;sufficientcondition;historyofmechanics早在1696年，JohnBernoulli(1667-1748)曾提出這樣一個問題：在豎直平面上將給定兩點(diǎn)和用一條光滑的金屬線相連(圖1)，一質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)以初速度由點(diǎn)沿金屬線滑動，問金屬線為何種形狀時，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所需的時間最少？這就是歷史
4、上著名的最速降線問題(brachistochroneproblem)。JohnBernoulli在提問的同時，警告人們不要憑直覺認(rèn)為金屬線是連接點(diǎn)和點(diǎn)的直線。實(shí)際上在此之前Galileo(1564-1642)曾研究過類似問題，并錯誤地認(rèn)為應(yīng)該是一段圓弧，因?yàn)閳A弧開始較陡，就獲得較大的速度，走完全程的時間也就最少。最速降線問題吸引了很多著名數(shù)學(xué)家的關(guān)注，圖1最速降線問題*國家自然科學(xué)基金資助項目(10772151)8理論力學(xué)教學(xué)研究論文，謝建華，2008.01.28Newton(1642-1727)、Leibniz(1646-1716)、l’Hospi
5、tal(1661-1704)以及Bernoulli兄弟幾乎同時給出了正確的結(jié)果。JohnBernoulli本人利用此問題與光線在媒質(zhì)中傳播的類似性，非常巧妙地得到了正確的答案：連接點(diǎn)和點(diǎn)的旋輪線(cycloid)。其兄JamesBernoulli(1654-1705)提出的幾何方法適用范圍要廣泛的多。Euler(1707-1783)在JamesBernoulli方法的基礎(chǔ)上，建立了所謂Euler方程。在變分法的初創(chuàng)時期，象最速降線這類問題什么是完整解答往往是含糊不清的。后來Legendre(1752-1833)、Jacobi(1804-1851)和W
6、eierstrass(1815-1897)等人進(jìn)一步研究了變分問題的必要性和充分性，建立了一些基本原理，如Legendre條件、包絡(luò)線定理和Weierstrass判別法等等，為變分法進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅實(shí)的基礎(chǔ)。最速降線問題的研究在力學(xué)史上是非常重要的，大部分力學(xué)或物理教材都將其作為一個經(jīng)典范例加以介紹的，但是最速降線問題的完整解答，特是其中充分性的證明需要較多的預(yù)備知識，故教科書一般僅限于介紹最速降線解的必要條件。本文說明，利用可動邊界的變分公式,通過廣義環(huán)路積分統(tǒng)一表示變分法中的一些基本原理,如Hilbert不變積分和包絡(luò)定理等等，在此基礎(chǔ)可用較少
7、篇幅說明最速降線問題解的充分性。另外還介紹如何用幾何方法，證明有僅有一條旋輪線通過平面上任意兩個給定的點(diǎn)。這樣就對最速降線問題的必要性、存在性和唯一性，以及充分性給了較全面的介紹。1.問題的描述設(shè)連接點(diǎn)和點(diǎn)的曲線具有形式，質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)的初速度為，由動能定理(1)由(1)(2)其中(如果從點(diǎn)向上正或斜拋質(zhì)點(diǎn)，為其能達(dá)到的坐標(biāo)的最小值)。由，及，然后通過積分獲得質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿曲線到達(dá)點(diǎn)所需時間(3)最速降線問題的完整研究應(yīng)該回答如下三個問題：(i)最速降線問題的解必須滿足什么樣的條件，即極值曲線必須是哪類曲線？(ii)在滿足必要條件的極值曲線簇中是否包含僅包含唯
8、一一條極值曲線過點(diǎn)和點(diǎn)？(iii)在問題(i)和(ii)得到肯定回答后，證明過點(diǎn)和點(diǎn)的極值曲線確為最速降線問
