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1、不等式恒成立、能成立、恰成立問題分析一、不等式恒成立問題問題引入：已知不等式對恒成立，其中，求實數(shù)的取值范圍。分析：思路（1）通過化歸最值，直接求函數(shù)的最小值解決，即。思路（2）通過分離變量，轉化到解決，即。思路（3）通過數(shù)形結合，化歸到作圖解決，即圖像在的上方。小結：不等式恒成立問題的處理方法1、轉換求函數(shù)的最值：（1）若不等式在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上的下界大于A；（2）若不等式在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上的上界小于B。tg(t)o·1圖1t=m例已知對任意恒成立，試求實數(shù)的取
2、值范圍。解：等價于對任意恒成立,又等價于時,成立.由于在上為增函數(shù),則,所以2、分離參數(shù)法（1）將參數(shù)與變量分離，即化為（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最?。┲?；（3）解不等式(或)，得的取值范圍。例已知函數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：將問題轉化為對恒成立。13令，則由可知在上為減函數(shù)，故∴即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。例已知二次函數(shù)，若時，恒有，求的取值范圍。解：，，即（1）當時，不等式顯然成立，（2）當時，由得，，．又，，．綜上得，的取值范
3、圍為。3、數(shù)形結合法（1）若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；（2）若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方。例設,,若恒有成立,求實數(shù)的取值范圍.x-2-4yO-4分析：在同一直角坐標系中作出及的圖象如圖所示，的圖象是半圓的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離13滿足解得（舍去)例當時，不等式恒成立，求的取值范圍．分析：注意到函數(shù)，都是我們熟悉的函數(shù)，運用數(shù)形結合思想，可知要使對一切，恒成立，只要在內(nèi)，的圖象在圖象的上方即
4、可．顯然，再運用函數(shù)思想將不等式轉化為函數(shù)的最值問題，即．解：設，，則要使對一切，恒成立，由圖象可知，并且，故有，，又點評：通過上述的等價轉化，使恒成立的解決得到了簡化，其中也包含著函數(shù)思想和數(shù)形結合思想的綜合運用。此外，從圖象上直觀得到后還需考查區(qū)間右端點處的函數(shù)值的大小。4、變換主元法例對于滿足的一切實數(shù)，不等式恒成立，試求的取值范圍。分析：習慣上把當作自變量，記函數(shù)，于是問題轉化為：當時，恒成立，求的取值范圍．解決這個等價的問題需要應用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當復雜的
5、。解：設函數(shù)，顯然，則是的一次函數(shù)，要使恒成立，當且僅當，且時，解得的取值范圍是。點評：本題看上去是一個不等式問題，但是經(jīng)過等價轉化，把它化歸為關于的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解，解題的關鍵是轉換變量角色。例對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉化為一次不等式在上恒成立的問題。13解：令，則原問題轉化為恒成立（）。當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。例設函數(shù)，對任意，
6、都有在恒成立，求實數(shù)的取值范圍。分析：解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個參數(shù)，再處理另一個參數(shù)。以本題為例，實質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決。方法1：化歸最值，；方法2：變量分離，或；方法3：變更主元，，簡解：對于方法3：變更主元，原函數(shù)可以看成是關于的函數(shù)，只需即可，因為，所以當時有最大值在恒成立，只需。當時，，得的取值范圍是。練習題1、設,當x[-1,+]時，都有恒成立，求a的取值范圍。解：a的取值范圍為[-3，1]2、R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當時，有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。tg(t)o·
7、1圖2t=m解：由得到：因為為奇函數(shù)，故有恒成立，又因為為R減函數(shù)，從而有對13恒成立。設，則對于恒成立，設函數(shù),對稱軸為.tg(t)o·1圖3t=m①當時，，即，又∴(如圖1)②當，即時,,即,∴,又,∴(如圖2)③當時，恒成立.∴（如圖3）故由①②③可知：.3、若不等式對恒成立，實數(shù)a的取值范圍是。4、若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍解：5、當時，不等式恒成立，則的取值范圍__________解析：當時，由得.∴.O6、若對任意,不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________解析：
8、對,不等式恒成立則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即。二、不等式能成立問題若在區(qū)間D上存在實數(shù)使不等式成立，則等價于在區(qū)間D上；若在區(qū)間D上存在實數(shù)使不等式成立，則等價于在區(qū)間D上的13例已知不等式在實數(shù)集R上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍______解：例若關于的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍是__________解：設.則關于的不等式的解集不是空集在R上能成立,即解得或三、不等式恰好成立問題例不等式的解集為則__________：6例已知，當?shù)闹涤蚴?，試求實?shù)的
