數(shù)值分析4高斯主元素消去法

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1、§2高斯主元素消去法引例（小主元）【例】用Gauss消去法解方程組0.0120%,+1.00%2+2.00%3=1.00<1.00%!+2.63x2+5.24x3=2.00一2.00xj+1.04x7+4.57%^=3.00解：clearalla=[0.01201.002.00;1.002.635.24;-2.001.044.57];b=[1?00;2?00;3?00];x=ab方程組的三位有效數(shù)字的解：/=（-0.645,0.476,0.266廣Gauss消去法求解（取三位有效數(shù)字）：1.002.002.635.241.044.571.002.003.000.01

2、20[Ab]=1.001.00-80.7-166-2.002.00-1625.001.00-81.33.002.001.000.01201.00-162-81.3’一做〉0-80.7-329-16400解出（-0.25，一0.197,0.60/。【注】1）設(shè)Ax=b，其中A為n階非奇異矩陣，可以應(yīng)用高斯消元法Q2）消元過程中，即使at/O,用其作除數(shù)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算中間結(jié)果數(shù)量級(jí)嚴(yán)重增長和舍人誤差的累積、擴(kuò)大，最后使得計(jì)算結(jié)果不可靠。3）應(yīng)避免采用絕對值很小的主元素對一般的系數(shù)矩陣，最好保持乘數(shù)^<1，因此，在高斯消去法中應(yīng)引進(jìn)選主元技巧，以便減少計(jì)算過程中舍入誤差對求解的

3、影響Oclearalla=[0.01201.002.00;1.002.635.24;-2.001.044.57];b=[1.00;2.00;3.00];x_value=vpa（ab,15）%10位有效數(shù)字的近似解a=[a,b];eps=le-6;[n,m]=size（a）;Gauss,x=vpa（x,15）%對比高斯消去法的結(jié)果一、列主元素消去法基本思想：在每輪消元之前，選列主元素（絕對值最大的元素），使乘數(shù)（即消元因子）

4、^

5、<1步驟：設(shè)已進(jìn)行k-1輪消元，得矩陣S1:選列主元素:maxk

6、ee?…U...U2n??蠡???a)Ukk...a{k}ukn??攀??參??賺a⑻Unknns2：換行：如果則方程組解不唯一，停止運(yùn)算；否則，如,則可進(jìn)行下一輪消元；如果/0矣則n。rk,然后進(jìn)行下一輪消元,算法與例子步1,定義數(shù)組A，B,X;輸入A,B,EPS步2,對k=l，2，…，n-1做(2.1)?(2.5):(2.1)求iO使峙

7、:，^)

8、，(2.2)如果小于某小數(shù)EPS,則輸出無唯一解信息，停機(jī)，(2.3)如果iO-k,則做(2.5)，(2.4)交換iO,k兩行對應(yīng)元素，(2.5)對i，j=k+l,…，n消元計(jì)算:d、—i尤、步3，回代求解：人=b

9、n/alin=d(z.=n-l，z?-2,…，2，1)y=/+i步4,輸出結(jié)果?！纠拷馇懊胬械姆匠探M。解用列主元素法求解；增廣陣[Ab]=0.01201.002.001.0012.635.242.00-2.001.044.573.00選出主元-2.00并換行消元/,,=-0.500/31=-6.006-2.001.000.0120L044.572.635.241.002.003.(2.(1.(2.001.044.573.00'主元3.152.001.044.573J03.157.533.50/32=0.32103.157.533?:01.012.031.0200-

10、0.390-0.程序：見column_gauss.ma=[0.01201.002.00;1.002.635.24;-2.001.044.57];b=[1.00;2.00;3?00];eps=le-6;回代解出：(-0.655,0.498,0.256)ro二、彳y主元素消去(即在第k行選主元素)(1)12(2)22^(1)"(1廣Clk??-Cl^(2)…“2”參參參??拳嚳嚳嚳^1（人）Ukk???akn?????????（又）ank…ann(A)4/在第k行選主元素：

11、4^

12、=max、完全主兀素$肖去法（即選主元素的范圍為k彡i,j^n）、⑴a(l)…U11w

13、12a(2)...w22???a⑴uka(2)u2k???…“⑴-U...a(2)U2n??蠡??肇w)z?又）Clkk---akn??攀參參參??壽Ak)Zf（人）■Clnk（幻選主元素=maxIO.JOk