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《數(shù)值分析5-2高斯消去法.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、一、高斯消去法第五章解線性方程組的直接法§2高斯消去法二、矩陣的三角分解三、高斯消去法的計(jì)算量四、高斯—約當(dāng)消去法一、高斯消去法1.高斯消去法的基本思想舉例用消去法解方程組（求解過(guò)程詳見(jiàn)書(shū)，請(qǐng)同學(xué)們自學(xué)）基本思想：用逐次消去未知數(shù)的方法把原來(lái)方程組AX=b化為與其等價(jià)的三角形方程組，而求解三角形方程組就容易了！2.高斯消去法的一般過(guò)程記Ax=b為A(1)x=b(1)，(1)消元過(guò)程第一次消元(記為A(2)x=b(2))……第n-1次消元(記為A(n)x=b(n))(2)回代過(guò)程高斯消去法的特點(diǎn)：消元和回代不同步！3.使用高斯
2、消去法的條件使用高斯消去法要求在每步消元時(shí)，那么矩陣A滿(mǎn)足什么，才能保證這一條件呢？引理：約化的主元素(i=1,2,…,n)的充要條件是矩陣A的順序主子式推論：如果A的順序主子式不等于0，則(k=2,3,…,n)定理：如果n階矩陣A的所有順序主子式均不為零，則可通過(guò)高斯消去法（不進(jìn)行交換兩行的初等變換），將方程組約化為三角形方程組。定理：如果A為n階非奇異矩陣，則可通過(guò)高斯消去法（及交換兩行的初等變換）將方程組Ax=b化為三角形方程組。二、矩陣的三角分解由矩陣?yán)碚摽芍瑢?duì)系數(shù)矩陣A實(shí)施行的初等變換相當(dāng)于用初等矩陣左乘A，即等
3、價(jià)于其中行初等變換行初等變換初等矩陣?yán)?(-2)+③則其中①*(-2)+③考察高斯消去法過(guò)程：等價(jià)于其中第一次消元消元時(shí)的系數(shù)而且重復(fù)這一過(guò)程，共進(jìn)行次消元，得ｎ－1將上三角矩陣A(n)記為U，則有其中Gauss消去法將A分解為兩個(gè)三角矩陣相乘定理:(矩陣的LU分解)設(shè)A為n階矩陣，如果A的順序主子式(i=1,2,…,n-1)，則A可分解為一個(gè)單位下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積，且這種分解是唯一的。注：若A實(shí)現(xiàn)了LU分解，則Ax=b(LU)x=bLy=bUx=y求解兩個(gè)三角形方程組!舉例：用系數(shù)矩陣的LU分解求下列方
4、程組解：系數(shù)矩陣為由高斯消去法，m21=0，m31=2m32=－1，故則求解原方程組可轉(zhuǎn)化為如下兩個(gè)三角形方程組：三、高斯消去法的計(jì)算量定理：如果A為n階非奇異矩陣，則用高斯消去法解Ax=b所需的乘除法次數(shù)及加減法次數(shù)分別為例如：n=10時(shí)，高斯消去法需要430次乘除法，而Cramer法則卻需要39916800次乘法。四、高斯—約當(dāng)消去法(Gauss-Jordan)高斯消去法在消元時(shí)始終消去對(duì)角線下方的元素，而高斯——約當(dāng)消去法則同時(shí)消去對(duì)角線上方和下方的元素。第一次消元(與高斯消去法不相同)第二次消元…故方程組的解為高斯—
5、—約當(dāng)消去法的特點(diǎn)：(1)消元和回代同時(shí)進(jìn)行；(2)乘除法的次數(shù)要比高斯消去法大，所以通常用于同時(shí)求解系數(shù)矩陣相同的多個(gè)方程組或求逆矩陣。高斯-約當(dāng)消去法的應(yīng)用1.同時(shí)求解系數(shù)矩陣相同的多個(gè)方程組例用高斯-約當(dāng)消去法求解兩個(gè)方程組AX=b1和AX=b2，其中解增廣矩陣為①×1/3消元②×3/4消元于是求得方程組Ax=b1的解方程組AX=b2的解基本原理：設(shè)有系數(shù)矩陣都為A的m個(gè)方程組將b1,b2,…,bs依次排在A的第n+1,n+2,…,n+m列，作一個(gè)n行n+m列的增廣矩陣，那么可用高斯-約當(dāng)消去法的同時(shí)求解m個(gè)方程組.2
6、.求解矩陣的逆基本原理：設(shè)A為n階非奇異矩陣，I為單位矩陣。由線性代數(shù)的知識(shí)，若對(duì)n×2n矩陣[A,I]作初等行變換，把A化為I，則原先的I就化成了A-1。所以在計(jì)算機(jī)上用高斯-約當(dāng)消去法計(jì)算即可。即由關(guān)系式AA-1=I得其中x(s)為A-1的第s列，es為I的第s列(s=1,2,…,n)。在計(jì)算機(jī)上用高斯-約當(dāng)消去法求A-1就相當(dāng)于同時(shí)求解n個(gè)線性方程組。例用高斯-約當(dāng)消去法求矩陣A的逆矩陣，其中解用高斯-約當(dāng)消去法得消元消元消元后單位化就是A-1作業(yè)：習(xí)題1,2,7
