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《數(shù)理方程練習(xí)題new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、一、填空題1．二階線性偏微分方程（其中各系數(shù)均為x和y的函數(shù)）在某一區(qū)域的性質(zhì)由式子：的取值情況決定，取值為正對(duì)應(yīng)的是（雙曲）型，取值為負(fù)對(duì)應(yīng)的是（橢圓）型，取值為零對(duì)應(yīng)的是（拋物）型。2．在實(shí)際中廣泛應(yīng)用的三個(gè)典型的數(shù)學(xué)物理方程：第一個(gè)叫（弦自由橫振動(dòng)），表達(dá)式為（），屬于（雙曲）型；第二個(gè)叫（熱傳導(dǎo)），表達(dá)式為（），屬于（橢圓）型；第三個(gè)叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表達(dá)式為（，），屬于（橢圓）型；二、選擇題1．下列泛定方程中，屬于非線性方程的是［B］(A)；(B)；(C)；(D)；2.下列泛定方程中，肯定屬于橢圓型的
2、是［D］(A)；(B)；(C)；(D)；3.定解問題的形式解可寫成［D］(A)(B)(C)(D)4.若非齊次邊界條件為，則輔助函數(shù)可?。跜］(A)；(B)；(C)；(D)；三、求解下列問題（1），其中a為常數(shù)。解：設(shè)試探解為f(Ax+Bt)，代入泛定方程。得B2f”=A2a2f”B2=A2a2不妨取A=1，則B=+a或-a故試探解的形式為f(x+at)或f(x-at)問題的通解為u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)，其中f和g為任意函數(shù)。（2），其中a和ω為常數(shù)。解：由上題知u(x,t)=f(x+at)+g(x-a
3、t)代入初始條件，得u(x,0)=f(x)+g(x)=cos(wx/a)ut(x,0)=af(x)-ag(x)=0聯(lián)合求解得f(x)=g(x)=0.5cos(wx/a)故u(x,t)=0.5cos[w(x+at)/a]+0.5cos[w(x-at)/a]=cos(wx/a)cos(wt)本題也可以用行波法公式直接求解。（3），其中，a和ω均為常數(shù)。解：由邊界條件得形式解為：將初始條件代入上式，得：由上述結(jié)果得0axyb四對(duì)給定的二維金屬矩形諧振腔，橫電模式的電場強(qiáng)度滿足定解問題：其中w和c為電磁波頻率和光速。用分離變量法求
4、通解；w能連續(xù)取值嗎？解：令E=X(x)Y(y)，代入定解問題，有：由，知l只在滿足時(shí)有非零解：，其中m=1，2，3…同理，由僅當(dāng)Y的本征值滿足：，其中n=1，2，3…時(shí)，Y有非零解故故問題的通解為：，m和n為整數(shù)因，知w不能連續(xù)變化，一、填空題二階線性偏微分方程分成三類，決定于的取值：>0對(duì)應(yīng)的是（雙曲）型，=0對(duì)應(yīng)的是（拋物）型，<0對(duì)應(yīng)的是（橢圓）型。對(duì)于常見的三類泛定方程，熱傳導(dǎo)方程或擴(kuò)散方程的表達(dá)式是（），屬于（橢圓）型；弦振動(dòng)方程的表達(dá)式是（），屬于（雙曲）型；泊松方程的表達(dá)式是（），屬于（拋物）型。二、單選題
5、1．下列泛定方程中屬于線性方程的是［C］(A)，其中表示u的復(fù)共軛；(B)；(C)；(D)；2.下列泛定方程中，肯定屬于橢圓型的是［B］(A)；(B)；(C)；(D)；3.定解問題的形式解是［B］(A)(B)(C)(D)三、用適當(dāng)方法求解下列問題。（1）解：設(shè)試探解為f(Ax+Bt)，代入泛定方程。得B2f”=A2a2f”B2=A2a2不妨取A=1，則B=+a或-a故試探解的形式為f(x+at)或f(x-at)問題的通解為u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)，其中f和g為任意函數(shù)。（2）解：由上題知u(x,t)=f
6、(x+at)+g(x-at)代入初始條件，得u(x,0)=f(x)+g(x)=0ut(x,0)=af’(x)-ag’(x)=cosx聯(lián)合求解得f(x)=-0.5(sinx+c);g(x)=0.5(sinx-c)故u(x,t)=-0.5sin(x+at)+0.5sin(x-at)=-cosxsin(at)本題也可以用行波法公式直接求解。（3）解：由邊界條件得形式解為：將初始條件代入上式，得：（4）解：由邊界條件，得形式解，代入泛定方程，得求上述常微分方程，可得最后解。（5）解：可分解為兩個(gè)問題：和第一個(gè)問題的解為：，其中：而
7、第二個(gè)問題的解，其中Tn滿足：四（11分）選擇合適的輔助函數(shù)，使定解問題的邊界條件齊次化，并寫出齊次化后的定解問題。解：
