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《數理方程30題new》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、數學物理方程常規(guī)例題(1-30題)一、數學模型例題例1．密度為ρ均勻柔軟的細弦線x=0端固定，垂直懸掛，在重力作用下，橫向拉它一下，使之作微小的橫振動。試導出振動方程。解：考慮垂直懸掛的細弦線上一段微元ds，該微元在坐標軸上投影為區(qū)間[x，x+dx]，在微元的上端點處有張力：T=ρg(L?x)，T11O在下端點處有張力：uxT=ρg(L?x?dx)2x+dx考慮張力在位移方向的分解，應用牛頓第三定律，有Tsinα?Tsinα=mu2211ttLT2由于細弦作微小振動，所以有近似sinα≈tanα=u(x+dx)22xxsinα≈tanα=u(x)11x代
2、入牛頓第三定律的表達式，有ρg(L?x?dx)u(x+dx,t)?ρg(L?x)u(x,t)≈ρdsuxxtt上式兩端同除以ρds，得(L?(x+dx))u(x+dx)?(L?x)u(x)xxg≈uttds由于ds≈dx，而(L?(x+dx))u(x+dx)?(L?x)u(x)xx≈[(L?x)u(x)]xxdx所以，細弦振動的方程為g[(L?x)u]=uxxtt例2．長為L密度為ρ底半徑為R的均勻圓錐桿（軸線水平）作縱振動，錐頂點固定在x=0處。導出此桿的振動方程。（需要包括假設在內的具體推導）解：設均勻圓錐桿作縱振動時位移函數為uu(x，t)xR則在
3、點x處，彈力與相對伸長量成正比，即xP(x,t)=Yux(x,t)OLx+dx其中，Y為楊氏模量。在截面上張力為T(x,t)=S(x)P(x,t)這里，S(x)為x處圓錐截面積?？紤]圓錐桿上對應于區(qū)間[x，x+dx]處的微元（如右圖所示）。應用牛頓第二定律，得1T(x+dx,t)?T(x,t)=ρ[(x+dx)S(x+dx)?xS(x)]u(x,t)tt3由于圓錐截面積R2S(x)=π(x)L微元（圓臺）體積11R2223ρ[(x+dx)S(x+dx)?xS(x)]=ρπ()(3xdx+3xdx+dx)33L所以R2221R2223Yπ()[(x+dx)
4、u(x+dx,t)?xu(x,t)]=ρπ()(3xdx+3xdx+dx)u(x,t)xxttL3L兩端除dx，并取極限，得22Y[xu(x,t)]=ρxu(x,t)xxtt2記a=Y/ρ，則有方程22u=a(u+u)ttxxxx二、二階偏微分方程化簡與求通解只考慮未知函數是兩個自變量情形，即u(x,y)?？紤]二階偏微分方程只有二階導數部分au+2au+au=011xx12xy22yy題目分常系數和變系數兩類，前者簡單。利用系數構造一元二次方程2aλ?2aλ+a=0111222待解出根λ和λ后，再求出兩個一階常微分方程y′=λ和y′=λ的通解。如果是方程
5、中1212系數為常系數，則兩個根也為常數，只需積分一次即可得通解。如果方程中系數為變系數，則兩個根不再是常數，需要用解一階常微分方程的手段來求通解。例3．判別二階微分方程u+10u+9u=0的類型并求通解。xxxyyy解：利用判別式2?=a?aa=25?9>0121122所以方程是雙曲型方程。構造輔助方程2λ?10λ+9=0解得：λ=9，λ=1，由12dydy=9，=1dxdx積分，得y=9x+C，y=x+C12由此構造變換ξ=9x?y，η=x?y顯然，變換矩陣為?ξxξy??9?1?Q=??=???ηxηy??1?1?且?15??1???4?[9?1]
6、????=[9?1]??=?32≠0?59???1???4?將變換表達式代入方程，化簡得u=0，對其積分，得ξηu=f(ξ)+g(η)其中，f,g是兩個任意一元函數（二階連續(xù)可微）。代回原來變量，得原方程的通解u=f(9x?y)+g(x?y)22例4．判別二階微分方程yu+6xyu+8xu=0的類型并求通解。xxxyyy解：利用判別式22222?=a?aa=36xy?8xy>0121122所以方程是雙曲型方程。構造輔助方程222yλ?6xyλ+8x=0分解因式，得(yλ?2x)(yλ?4x)=0所以dydy=2x/y，=4x/ydxdx解常微分方程得22
7、??y=2x+C1?22??y=4x+C2得變換22??ξ=2x?y?ξxηx??4x8x??22，?ξη?=????η=4x?y?yy???2y?2y?所以2?2??y3xy??8x?2xy[]22a12=4x?2y?2???=[4x?2y]?2?=?8xy?3xy8x???2y???8xy??22得標準方程，?8xyu=0，即u=0ξξξξ方程的通解為：u=f(ξ)+g(η)f,g是兩個任意一元函數（二階連續(xù)可微）。代回原來變量，得通解2222u(x,y)=f(2x?y)+g(4x?y)例5．化簡微方程并求方程通解。22sinyu+6cosxsiny
8、u+8cosxu=0xxxyyy222解：一元二次方程為，(siny)λ?6(c
