數理方程習題new

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1、44第一章二階常微分方程的邊值問題1假設弦的張力為T0=T0(x)，試推導弦平衡問題的數學模型（1.2.12）-（1.2.13）.2如果考慮弦自身的重力，試推導弦平衡問題的數學模型.3證明1(a)δ(?x)=δ(x),(b)δ(ax)=δ(x),(c)f(x)δ(x)=f(0)δ(x).

2、a

3、其中f(x)∈C∞(?∞,∞).4求下列廣義導數{0,x>0(a)f(x)=1,x<0.{3,x>0(b)f(x)=?1,x<0.{cosx,x>0(c)f(x)=0,x<0.5試用Green函數法求解邊值問題{?d((1+x2

4、)du)=f(x),a.dxdxu(0)=u0,u(1)=u1.{d2u?2+u=f(x),b.dxu(0)=u0,u(1)=u1.{2d2udu?x2+bx+cu=f(x),c.dxdxu(0)有界,u(1)=u1.(c>0).6考慮下述定解問題{?d(T(x)du)+c(x)u=δ(x?y),dx0dx?u′(0)=0,u′(l)=0.1.5特征值與特征函數45其中c(x)≥c0>0.若N(x,y)是該定解問題的解，則稱其為微分算子Lu=?d(T(x)du)具有第二邊界條件的Green函數.dx0dx試用N(x,

5、y)導出一般二階常微分方程第二邊值問題解的表達式{?d(T(x)du)+c(x)u=f(x),dx0dx?u′(0)=u,u′(l)=u.017若S(x,y)是二階常微分方程第三邊界問題{?d(T(x)du)+c(x)u=δ(x?y),dx0dx?u′(0)+αu(0)=0,u′(l)+βu(l)=0,的解，其中α,β≥0,α+β?=0,c(x)≥0(即α,β是不全為0的非負數).則稱S(x,y)為微分算子Lu=?d(T(x)du)具有第三邊界條件的Green函數.dx0dx試用S(x,y)寫出一般二階常微分方程第三

6、邊界邊值問題的解的表達式{?d(T(x)du)+c(x)u=f(x),dx0dx?u′(0)+αu(0)=u,u′(l)+βu(l)=u.018試證明以下形式的二階常微分方程d2udu?+b(x)+c(x)u=f(x),dx2dx可以化為具有對稱形式的二階常微分方程ddu?(T0(x))+?c(x)u=f?(x),dxdx其中∫x?b(s)dsT0(x)=e0,∫x?b(s)dsc?(x)=c(x)e0,∫xf?(x)=f(x)e?0b(s)ds.9研究特征值問題{?d2u+b(x)du+c(x)u?λu=0,dx2

7、dxu(0)=0,u(l)=0.46第一章二階常微分方程的邊值問題試證明特征值λ與特征函數X(x)所適合的特征值問題的性質1—性質4.提示：先用上題的結果把微分算子轉化成對稱算子的形式.10試求下述特征問題{?u′′?λu=0,0

8、，β1+β2?=0.12求解周期特征值問題{?u′′?λu=0,0

9、φ(x,y,z)∈C(R),且在充分大圓外為0證明對于任意φ(x,y,z)∈M0，有∫∫∫u(x,y,z)(??φ)dxdydz=φ(0,0,0).?3

10、設u(x,y)∈C2(?)ˉ是下述邊值問題的解?[]???2u??2u+?2u+a(x,y)?u+b(x,y)?u+c(x,y)u=f(x,y),?x2?x?y?y2?x?y?u=φ(x,y).??試證明當c(x,y)≥0,f(x,y)<0時，u(x,y)在?ˉ上的最大值必在邊界??上達到.4試利用上題的結果證明：解u(x,y)連續(xù)依賴于邊值φ(x,y)和右端f(x,y).{√}5記單位圓域Bˉ=(x,y)

11、r=x2+y2≤1.設ui=ui(x,y)是以下邊值問題{??u=δ(x?x,y?y)+(?1)iδ(x?x,

12、y+y),(x,y)∈Bi0000ui=0.?B的解，其中i=1,2,(x0,y0)∈B,y0>0.試證明對于固定的(x0,y0),y0>0,u1(x,y)是y的奇函數，u2(x,y)是y的偶函數，即u1(x,y)=?u1(x,?y),u2(x,y)=u2(x,?y).提示：利用δ(x,y)的性質δ(x,?y)=δ(x,y)2.5特征值與特征函