探究：學(xué)生從知識(shí)課堂走向智慧課堂

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1、探究：學(xué)生從知識(shí)課堂走向智慧課堂“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”課例及其點(diǎn)評(píng)北京豐臺(tái)二中張健學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過(guò)各種不同形式的主學(xué)習(xí)、探宄活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)?！岸?xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”是高中數(shù)學(xué)新課程《數(shù)學(xué)選修2-3》“U?數(shù)原理”中的一節(jié)內(nèi)容。這節(jié)內(nèi)容的

2、難度大，探宄性強(qiáng)，所滲透的數(shù)學(xué)思想方法較多，如何在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式“體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”？我們對(duì)這節(jié)課作了富有成效的嘗試。1.課堂教學(xué)簡(jiǎn)錄教師：二項(xiàng)式系數(shù)之間有什么關(guān)系？（學(xué)生沉思，沒(méi)有回答）教師：研究數(shù)的變化規(guī)律，一般采用什么方法？學(xué)生2:從特殊到一般的方法。教師：“從特殊到一般”的基本思路是學(xué)生3:觀察特例一找出規(guī)律一歸納猜想一給出證明。學(xué)生4:取n=l，2,3我發(fā)現(xiàn)：前后兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)都是1;與兩端間距相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一個(gè)二

3、項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)最大。教師：真不錯(cuò)！一下就說(shuō)出來(lái)三條性質(zhì)。為了便于觀察，我們可以對(duì)n’取不同值，得到二項(xiàng)式系數(shù)表（多媒體投影圖1）:eg11教師：二項(xiàng)式的右側(cè)的表是由左側(cè)表計(jì)算得來(lái)的。二項(xiàng)式系數(shù)表構(gòu)成了三角形圖案，右側(cè)這個(gè)三角形圖案S早是由我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，所以又稱“楊輝三角”，它比丙方的“帕斯卡三角”早300多年。教師：能用式子表示這些性質(zhì)嗎？學(xué)生5:Gnn=為偶數(shù)時(shí)，以最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，以Cnz?+l和c/（兩者相等）最大。（有其他同學(xué)補(bǔ)充）教師：還有其它

4、發(fā)現(xiàn)嗎？學(xué)生6:“楊輝三角”從第三行開始，每行的數(shù)都是先增后減。教師：怎么用數(shù)學(xué)符號(hào)表示？學(xué)生7:設(shè)C；

5、它兩項(xiàng)（如圖3）,于是有C^+C；=,或C:+C:1=C::;。教師：太精彩了！由于71是任意的，實(shí)際這兩個(gè)等式是統(tǒng)一的。教師：這個(gè)性質(zhì)非常重要！它可以使“楊輝三角”連續(xù)不斷的寫下去。你能說(shuō)岀（6Z+/?）7各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)嗎？學(xué)生10:1,7,21，35，35,21,7，1。教師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？（學(xué)生沉思）教師：剛才我們探索了“楊輝三角”“局部”之間數(shù)的關(guān)系，若從“整體”上看呢？比如，把每一行的所有數(shù)賦予運(yùn)算，所得的值是否有規(guī)律性呢？學(xué)生11:我把每一行的數(shù)都相加:第一行為1=2°；第二行為2=

6、2第三行為4=22；……于是第n行應(yīng)為2'1。也就是+=2"。教師：真不簡(jiǎn)單呀！這個(gè)性質(zhì)是通過(guò)歸納猜想得到的，怎么證明它呢？（學(xué)生沉思）教師：這個(gè)式子的“源頭”在哪里呀？學(xué)生：二項(xiàng)式定理。學(xué)生12:我是這樣想的，不知對(duì)不對(duì)！要用二項(xiàng)式定理證明這個(gè)等式，關(guān)鍵是把展開式各項(xiàng)中的字母6Z，/?化為1，于是令=6=就得證了。教師：大家認(rèn)為她這樣證明是否可以?學(xué)生13:可以。因?yàn)槎?xiàng)式定理對(duì)任意的6Z，Z?都正確，所以當(dāng)6Z，/?都取1吋，推出的結(jié)論當(dāng)然也是正確的。教師：是的！若一般情形成立，則特殊情形一定

7、成立。我們把這種代入特殊值來(lái)解決問(wèn)題的方法，稱為賦值法。把二項(xiàng)式定理中的6Z，/?賦予不同的特殊值，還能得到一些結(jié)論！學(xué)生14:令“=1，6=-1，WCZ?+C>C；+=C；+C>CZ^+???o教師：其實(shí)用賦值法還能解決很多有趣的問(wèn)題，請(qǐng)看下面例題：例1.己知(2%+V^)4=+tZjA-++ClyX^+Cl^X^f求(“0+Cl2+tz4)*■—(6Z,+)2的值。學(xué)生15:先令*=可得6f。+%+6f2+6f3+6f4=(2+a/^)4，再令X=—1，得6/()-6/,+^2-^+6/4=(V

8、3-2)再將所求的式子分解因式，代入這兩個(gè)值，即可求得其值為1。教師：賦值法在這里起到了化難力易、化繁為簡(jiǎn)的作用。例2.證明：1+2C,1,+22C；+23C,>...+2MC二'=3"。學(xué)生16:在(1+2aT=l+2C>+22C>2+...+2”C>M-b令x二1即得證。學(xué)生17:直接用二項(xiàng)式定理就可證得。由于3n=(1+2)",把右邊展開即得。教師：思路都很好！用賦值法證明此題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩?xiàng)式；用二項(xiàng)式定理證明的關(guān)鍵是拆項(xiàng)。再看兒個(gè)直接運(yùn)用二項(xiàng)式系