探究：學生從知識課堂走向智慧課堂

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1、探究：學生從知識課堂走向智慧課堂——“二項式系數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”課例及其點評北京豐臺二中張健學生的數(shù)學學習活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應(yīng)倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式。這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。高中數(shù)學課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識?！岸検较禂?shù)的性質(zhì)與應(yīng)用”是高中數(shù)學新課程《數(shù)學選修2-3》“計數(shù)原理”中的一節(jié)內(nèi)容。這節(jié)內(nèi)容的難度大，探究性強，所滲透的數(shù)學思想方法較多，如何在

2、教師的引導下，讓學生通過自主探究、合作交流的學習方式“體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程”？我們對這節(jié)課作了富有成效的嘗試。1．課堂教學簡錄教師：二項式系數(shù)之間有什么關(guān)系？（學生沉思，沒有回答）教師：研究數(shù)的變化規(guī)律，一般采用什么方法？學生2：從特殊到一般的方法。教師：“從特殊到一般”的基本思路是————學生3：觀察特例→找出規(guī)律→歸納猜想→給出證明。學生4：取我發(fā)現(xiàn)：前后兩個二項式系數(shù)都是1；與兩端間距相等的兩個二項式系數(shù)相等；當為偶數(shù)時，中間一個二項式系數(shù)最大；當為奇數(shù)時，中間兩個二項式系數(shù)最大。教師：真不錯！一下就說出來三條性質(zhì)。為了便于觀察，我們可以對取

3、不同值，得到二項式系數(shù)表（多媒體投影圖1）：圖1教師：二項式的右側(cè)的表是由左側(cè)表計算得來的。二項式系數(shù)表構(gòu)成了三角形圖案，右側(cè)這個三角形圖案最早是由我國古代數(shù)學家楊輝發(fā)現(xiàn)的，所以又稱“楊輝三角”，它比西方的“帕斯卡三角”早300多年。教師：能用式子表示這些性質(zhì)嗎？學生5：；；當為偶數(shù)時，以最大；當為奇數(shù)時，以和（兩者相等）最大。（有其他同學補充）教師：還有其它發(fā)現(xiàn)嗎？學生6：“楊輝三角”從第三行開始，每行的數(shù)都是先增后減。教師：怎么用數(shù)學符號表示？學生7：設(shè)，于是，可推出。即當時，；同理當時，。教師：還有其它性質(zhì)嗎？（學生沉默）教師：同行的數(shù)“親如兄弟

4、”，異行的數(shù)是否也“藕斷絲連”呀！學生8：任意一個數(shù)（除1以外）都等于它“兩肩”上的兩個數(shù)之和。教師：你能發(fā)現(xiàn)它很不簡單！請看圖2。這個性質(zhì)怎么表示？圖2圖3學生9：任意寫出一項，根據(jù)其規(guī)律即可寫出其它兩項（如圖3），于是有＋＝，或＋＝。教師：太精彩了！由于是任意的，實際這兩個等式是統(tǒng)一的。教師：這個性質(zhì)非常重要！它可以使“楊輝三角”連續(xù)不斷的寫下去。你能說出各項的二項式系數(shù)嗎？學生10：1，7，21，35，35，21，7，1。教師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？（學生沉思）教師：剛才我們探索了“楊輝三角”“局部”之間數(shù)的關(guān)系，若從“整體”上看呢？比如，把每一行的所

5、有數(shù)賦予運算，所得的值是否有規(guī)律性呢？學生11：我把每一行的數(shù)都相加：第一行為1＝20；第二行為2＝21；第三行為4＝22；……；于是第行應(yīng)為。也就是。教師：真不簡單呀！這個性質(zhì)是通過歸納猜想得到的，怎么證明它呢？（學生沉思）教師：這個式子的“源頭”在哪里呀？學生：二項式定理。學生12：我是這樣想的，不知對不對！要用二項式定理證明這個等式，關(guān)鍵是把展開式各項中的字母化為1，于是令，就得證了。教師：大家認為她這樣證明是否可以？學生13：可以。因為二項式定理對任意的都正確，所以當都取1時，推出的結(jié)論當然也是正確的。教師：是的！若一般情形成立，則特殊情形一定

6、成立。我們把這種代入特殊值來解決問題的方法，稱為賦值法。把二項式定理中的賦予不同的特殊值，還能得到一些結(jié)論!學生14：令，得。教師：其實用賦值法還能解決很多有趣的問題，請看下面例題：例1．已知，求的值。學生15：先令，可得，再令，得。再將所求的式子分解因式，代入這兩個值，即可求得其值為1。教師：賦值法在這里起到了化難為易、化繁為簡的作用。例2．證明：。學生16：在中，令即得證。學生17：直接用二項式定理就可證得。由于，把右邊展開即得。教師：思路都很好！用賦值法證明此題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個恰當?shù)亩検?；用二項式定理證明的關(guān)鍵是拆項。再看幾個直接運用二項式系數(shù)

7、的性質(zhì)來解決的問題：例3．求證：。學生18：由，即得證。教師：運用二項式系數(shù)的性質(zhì)解決問題的關(guān)鍵是能夠靈活的變換這些性質(zhì)公式。例4．證明：能被1000整除。學生19：，只要能證明能被1000整除即可。而=10，于是問題得證。教師：一般來說，當時，應(yīng)用進行轉(zhuǎn)化，可以減少計算量。例5．證明：當為偶數(shù)時，。學生20：由上面學習的性質(zhì)，我們有：，將第二個等式代入第一個等式，消去偶數(shù)項，化簡后即得。2．教學特色點評數(shù)學教學從本質(zhì)上說，是教師和學生以課堂為主渠道的交往活動，是教師和學生在特殊教育情境中的自主探究活動。這節(jié)課教師本著“讓學生充分經(jīng)歷知識的形成、發(fā)展和

8、應(yīng)用過程”、“充分體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程”的教學理念，為學生的智慧生長而教，使學生在探究中“