概率論與數(shù)理統(tǒng)計魏宗舒版學(xué)習(xí)指導(dǎo)講義

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1、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課外學(xué)習(xí)指導(dǎo)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課外自學(xué)指導(dǎo)第一章事件與概率內(nèi)容提要基本內(nèi)容：隨機(jī)事件與樣本空間，事件的關(guān)系與運算，概率的概念和基本性質(zhì)，古典概率，幾何概率，條件概率，與條件概率有關(guān)的三個公式，事件的獨立性，貝努里試驗.1、隨機(jī)試驗、樣本空間與隨機(jī)事件（1）隨機(jī)試驗：具有以下三個特點的試驗稱為隨機(jī)試驗，記為.1）試驗可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2）每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，但試驗之前可確知試驗的所有可能結(jié)果；3）每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).（2）樣本空間：隨機(jī)試驗的所有可能結(jié)

2、果組成的集合稱為的樣本空間記為Ω；試驗的每一個可能結(jié)果，即Ω中的元素，稱為樣本點，記為.（3）隨機(jī)事件：在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機(jī)事件，簡稱事件；也可表述為事件就是樣本空間的子集，必然事件（記為）和不可能事件（記為）.2、事件的關(guān)系與運算（1）包含關(guān)系與相等：“事件發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生”，記為或；且.（2）互不相容性：；互為對立事件且.（3）獨立性：1）設(shè)為事件，若有，則稱事件與相互獨立.等價于：若().2）多個事件的獨立：設(shè)是n個事件，如果對任意的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課外學(xué)習(xí)指導(dǎo)，任意的

3、，具有等式，稱個事件相互獨立．3、事件的運算（1）和事件（并）：“事件與至少有一個發(fā)生”，記為.（2）積事件（交）：“事件與同時發(fā)生”，記為或.（3）差事件、對立事件(余事件)：“事件發(fā)生而不發(fā)生”，記為稱為與的差事件；稱為的對立事件；易知：.4、事件的運算法則1)交換律：，；2)結(jié)合律：，；3)分配律：，；4)對偶(DeMorgan)律：，，可推廣5、概率的概念（1）概率的公理化定義：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課外學(xué)習(xí)指導(dǎo)（2）頻率的定義：事件在次重復(fù)試驗中出現(xiàn)次，則比值稱為事件在次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率，記為

4、，即.（3）統(tǒng)計概率：稱為事件的（統(tǒng)計）概率.在實際問題中，當(dāng)很大時，取（4）古典概率：若試驗的基本結(jié)果數(shù)為有限個，且每個事件發(fā)生的可能性相等，則（試驗對應(yīng)古典概型）事件發(fā)生的概率為：.（5）幾何概率：若試驗基本結(jié)果數(shù)無限，隨機(jī)點落在某區(qū)域g的概率與區(qū)域g的測度(長度、面積、體積等)成正比，而與其位置及形狀無關(guān)，則（試驗對應(yīng)幾何概型），“在區(qū)域中隨機(jī)地取一點落在區(qū)域中”這一事件發(fā)生的概率為：.（6）主觀概率：人們根據(jù)經(jīng)驗對該事件發(fā)生的可能性所給出的個人信念.6、概率的基本性質(zhì)（1）不可能事件概率零：＝0.

5、（2）有限可加性：設(shè)是n個兩兩互不相容的事件，即＝，（），則有＝＋.（3）單調(diào)不減性：若事件，且.（4）互逆性：且.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課外學(xué)習(xí)指導(dǎo)（5）加法公式：對任意兩事件，有－；此性質(zhì)可推廣到任意個事件的情形.（6）可分性：對任意兩事件，有，且7、條件概率與乘法公式（1）條件概率：設(shè)是兩個事件，即，則稱為事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率．（2）乘法公式：設(shè)且則稱為事件的概率乘法公式.8、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式（1）全概率公式：設(shè)是的一個劃分，且，，則對任何事件，有稱為全概率公式.（2

6、）貝葉斯(Bayes)公式：設(shè)是的一個劃分，且，則對任何事件，有稱為貝葉斯公式或逆概率公式.9、貝努里(Bernoulli)概型（1）只有兩個可能結(jié)果的試驗稱為貝努里試驗，常記為．也叫做“成功—失敗”《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課外學(xué)習(xí)指導(dǎo)試驗,“成功”的概率常用表示，其中＝“成功”.（2）把重復(fù)獨立地進(jìn)行次，所得的試驗稱為重貝努里試驗，記為．（3）把重復(fù)獨立地進(jìn)行可列多次，所得的試驗稱為可列重貝努里試驗，記為．以上三種貝努里試驗統(tǒng)稱為貝努里概型．（4）中成功次的概率是：其中.疑難分析1、必然事件與不可能事件必然

7、事件是在一定條件下必然發(fā)生的事件，不可能事件指的是在一定條件下必然不發(fā)生的事件.它們都不具有隨機(jī)性，是確定性的現(xiàn)象，但為研究的方便，把它們看作特殊的隨機(jī)事件.2、互逆事件與互斥（不相容）事件如果兩個事件與必有一個事件發(fā)生，且至多有一個事件發(fā)生，則、為互逆事件；如果兩個事件與不能同時發(fā)生，則、為互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.區(qū)別兩者的關(guān)鍵是：當(dāng)樣本空間只有兩個事件時，兩事件才可能互逆，而互斥適用與多個事件的情形.作為互斥事件在一次試驗中兩者可以都不發(fā)生，而互逆事件必發(fā)生一個且只發(fā)生一個.3、兩

8、事件獨立與兩事件互斥兩事件、獨立，則與中任一個事件的發(fā)生與另一個事件的發(fā)生無關(guān)，這時；而兩事件互斥，則其中任一個事件的發(fā)生必然導(dǎo)致另一個事件不發(fā)生，這兩事件的發(fā)生是有影響的，這時.4、條件概率與積事件概率是在樣本空間內(nèi)，事件的概率，而是在試驗增加了新條件發(fā)生后的縮減的樣本空間中計算事件的概率.雖然、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課外學(xué)習(xí)指導(dǎo)都發(fā)生，但兩者是不同的，一般說來，當(dāng)、同時發(fā)生時，常用，而在有包含關(guān)系或明確的主從關(guān)系時，用.如袋