高考函數(shù)問題的題型與解題方法

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1、高考函數(shù)問題的題型與解題方法文/李嘉一、函數(shù)的概念型問題本部分的難點(diǎn)首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識，真正明確不僅函數(shù)的對。應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導(dǎo)。其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合。(一)深化對函數(shù)概念的認(rèn)識例1.下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是（）分析：處理本題有多種思路。此題作為選擇題可采用估算的方法。對于D，y=3是其值域內(nèi)一個(gè)值，但若y=3，則可能x=2(2＞1)，也可能x=

2、-1(-1≤-1)。依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)，于是決定本題選D。（二）系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法例2.已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域：分析：x的函數(shù)f(x2)是由u=x2與f(u)這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量。由于f(x)，f(u)是同一個(gè)函數(shù)，故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x2＜2。求x的取值范圍。二、考查函數(shù)的性質(zhì)型問題1.對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解例3.下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y

3、軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是?。ǎ〢.1　B.2C.3D.4分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯(cuò)誤。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不一定經(jīng)過原點(diǎn)，因此②不正確。若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④錯(cuò)誤，選A。三、函數(shù)綜合應(yīng)用1.準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識例4.已知函數(shù)f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)

4、y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)

5、x=1｝中所含元素的個(gè)數(shù)是。（）

6、A.0B.1C.0或1D.1或2分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言。從函數(shù)觀點(diǎn)看，問題是求函數(shù)y=f(x)，x∈F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè)，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對應(yīng)法則三要素組成的。這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1∈F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1不屬于F時(shí)沒有交點(diǎn)，所以選C。2.掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的。對于函數(shù)

7、f(x)與g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式，對于某些方程、不等式的問題用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識是十分有益的。例5.方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（　）A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞)分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)。它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D。至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了。實(shí)際上這是要比較與2的大小。當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1。由于lg2＜1

8、，因此x0＞2，從而判定x0∈(2，3)，故本題應(yīng)選C。（單位：江西省吉安市永新縣禾川中學(xué)）