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1、第八章參數(shù)估計(jì)方法第一節(jié)農(nóng)業(yè)科學(xué)中的主要參數(shù)及其估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)第二節(jié)矩法第三節(jié)最小二乘法第四節(jié)極大似然法第一節(jié)農(nóng)業(yè)科學(xué)中的主要參數(shù)及其估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)一、農(nóng)業(yè)科學(xué)中的主要參數(shù)(1)總體數(shù)量特征值參數(shù),例如,用平均數(shù)來估計(jì)品種的產(chǎn)量,用平均數(shù)差數(shù)來估計(jì)施肥等處理的效應(yīng);(2)在揭示變數(shù)間的相互關(guān)系方面,用相關(guān)系數(shù)來描述2個(gè)變數(shù)間的線性關(guān)系;用回歸系數(shù)、偏回歸系數(shù)等來描述原因變數(shù)變化所引起的結(jié)果變數(shù)的平均變化的數(shù)量,用通徑系數(shù)來描述成分性狀對(duì)目標(biāo)性狀的貢獻(xiàn)程度等。農(nóng)業(yè)科學(xué)研究中需要估計(jì)的參數(shù)是多種多樣的,主要包括:二、參數(shù)估計(jì)量的評(píng)選
2、標(biāo)準(zhǔn)(一)數(shù)學(xué)期望樣本平均數(shù)的平均數(shù)就是一種數(shù)學(xué)期望。例如,一個(gè)大豆品種的含油量為20%,測(cè)定一次可能是大于20%,再測(cè)定可能小于20%,大量反復(fù)測(cè)定后平均結(jié)果為20%,這時(shí)20%便可看作為該大豆品種含油量的數(shù)學(xué)期望,而每單獨(dú)測(cè)定一次所獲的值只是1個(gè)隨機(jī)變量。抽象地,隨機(jī)變量的數(shù)字特征是指隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值。對(duì)于離散型(間斷性)隨機(jī)變量y的分布列為:P{y=yi}=pi,其中,i=1,2,…,那么隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望E(y)為:(8·1)這樣可以求得總體平均值。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)y的數(shù)學(xué)期望E(y)為:(8·2)其中f(y)為隨機(jī)
3、變量y的概率密度函數(shù),這樣可以求得總體均值。用D(y)表示方差,有D(y)=E[y-E(y)]2(8·3)這就是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。同理,離散型隨機(jī)變量方差的數(shù)學(xué)期望為:(8·4)連續(xù)型隨機(jī)變量方差的數(shù)學(xué)期望為:(8·5)數(shù)學(xué)期望有這樣一些常用的性質(zhì):(1)常數(shù)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)本身;(2)隨機(jī)變量與常數(shù)的乘積的數(shù)學(xué)期望是常數(shù)與隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的乘積;(3)多個(gè)隨機(jī)變量分別與常數(shù)的乘積的求和函數(shù)的數(shù)學(xué)期望是常數(shù)與多個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的乘積的和;(4)多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的乘積的數(shù)學(xué)期望是多個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的乘積。(二)參
4、數(shù)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)主要有無偏性、有效性、相合性等(1)無偏性參數(shù)估計(jì)量的期望值與參數(shù)真值是相等的,這種性質(zhì)稱為無偏性,具有無偏性的估計(jì)量稱為無偏估計(jì)量。例如,在抽樣分布中已經(jīng)介紹了離均差平方和除以自由度得到的均方的平均數(shù)等于總體方差,即該均方的數(shù)學(xué)期望等于相應(yīng)總體參數(shù)方差,這就是說該均方估計(jì)量是無偏的。估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望值在樣本容量趨近于無窮大時(shí)與參數(shù)的真值相等的性質(zhì)稱為漸進(jìn)無偏性,具有漸進(jìn)無偏性的估計(jì)量稱為漸進(jìn)無偏估計(jì)量。(2)有效性無偏性表示估計(jì)值是在真值周圍波動(dòng)的一個(gè)數(shù)值,即無偏性表示估計(jì)值與真值間平均差異為
5、0,近似可以用估計(jì)值作為真值的一個(gè)代表。同一個(gè)參數(shù)可以有許多無偏估計(jì)量,但不同估計(jì)量的期望方差不同,也就是估計(jì)量在真值周圍的波動(dòng)大小不同。估計(jì)量的期望方差越大說明用其估計(jì)值代表相應(yīng)真值的有效性越差;否則越好,越有效。不同的估計(jì)量具有不同的方差,方差最小說明最有效。如果一個(gè)無偏估計(jì)量相對(duì)與其它所有可能無偏估計(jì)量,其期望方差最小,那么稱這種估計(jì)量為一致最小方差無偏估計(jì)量。(3)相合性用估計(jì)量估計(jì)參數(shù)涉及一個(gè)樣本容量大小問題,如果樣本容量越大估計(jì)值越接近真值,那么這種估計(jì)量是相合估計(jì)量。除以上三方面標(biāo)準(zhǔn)外,還有充分性與完備性也是??紤]的。
6、充分性指估計(jì)量應(yīng)充分利用樣本中每一變量的信息;完備性指該估計(jì)量是充分的唯一的無偏估計(jì)量。第二節(jié)矩法一、矩的概念矩(moment)分為原點(diǎn)矩和中心矩兩種。對(duì)于樣本y1,y2,…yn,各觀測(cè)值的k次方的平均值,稱為樣本的k階原點(diǎn)矩,記為,有,用觀測(cè)值減去平均數(shù)得到的離均差的k次方的平均數(shù)稱為樣本的k階中心矩,記為或,有。對(duì)于總體y1,y2,…yN,各觀測(cè)值的k次方的平均值,稱為總體的k階原點(diǎn)矩,記為,有;用觀測(cè)值減去平均數(shù)得到的離均差的k次方的平均數(shù)稱為總體的k階中心矩,記為或,有二、矩法及矩估計(jì)量所謂矩法就是利用樣本各階原點(diǎn)矩來估計(jì)總
7、體相應(yīng)各階原點(diǎn)矩的方法,即(8·6)也可以用樣本各階原點(diǎn)矩的函數(shù)來估計(jì)總體各階原點(diǎn)矩同一函數(shù),即若Q=f(E(y),E(y2),…,E(yk)),則由此得到的估計(jì)量稱為矩估計(jì)量。[例8.1]現(xiàn)獲得正態(tài)分布的隨機(jī)樣本y1,y2,…yn,要求正態(tài)分布參數(shù)和的矩估計(jì)量。首先,求正態(tài)分布總體的1階原點(diǎn)矩和2階中心矩:然后求樣本的1階原點(diǎn)矩和2階中心矩,為最后,利用矩法,獲得總體平均數(shù)和方差的矩估計(jì)故總體平均數(shù)和方差的矩估計(jì)值分別為樣本平均數(shù)和樣本方差,方差的分母為n。單峰分布曲線還有二個(gè)特征數(shù),即偏度(skewness)與峰度(kurtos
8、is),可分別用偏度系數(shù)和峰度系數(shù)作測(cè)度。偏度系數(shù)(coefficientofskewness)是指3階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差的3次方之比;峰度系數(shù)(coefficientofkurtosis)是指4階中心矩與標(biāo)準(zhǔn)差的4次方之比。當(dāng)偏度為正值