資源描述：
《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第十二節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系(1)若，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)．2．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)求；(2)在定義域內(nèi)解不等式；(3)根據(jù)結(jié)果確定f(x)的單調(diào)區(qū)間．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)＝0f′(x)f′(x)>0或f′(x)<0二、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在x＝a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)
2、＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．2．函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值．f′(x)<0f′(x)>0f′(x)>0f′(x)<0[疑難關(guān)注]1．f′(x)>0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系f′(x)>0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定．如函數(shù)f
3、(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件．2．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即f′(x0)＝0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件，如函數(shù)y＝x3在x＝0處有y′
4、x0＝0＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)，此外不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)．1．(課本習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3處取得極值，則a＝()A．2B．3C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3處有極
5、值．∴f′(－3)＝0.3×9－6a＝0.∴a＝5.答案：D答案：C3．(2012年高考陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝xex，則()A．x＝1為f(x)的極大值點(diǎn)B．x＝1為f(x)的極小值點(diǎn)C．x＝－1為f(x)的極大值點(diǎn)D．x＝－1為f(x)的極小值點(diǎn)解析：利用導(dǎo)數(shù)的乘法法則求解．∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴當(dāng)f′(x)≥0時(shí)，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1時(shí)函數(shù)y＝f(x)為增函數(shù)．同理可求，x<－1時(shí)函數(shù)f(x)為減函數(shù)．∴x＝－1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值．答案：D4．(課本習(xí)題改編)已知f(x)＝x3
6、－ax在[1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a，在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，∴f′(1)≥0，即3×1－a≥0.∴a≤3.答案：35．(2013年皖南八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有極大值和極小值，所以f′(x)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.答案：a<－3或a>6考向一 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)[例1](20
7、12年高考北京卷改編)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲線(xiàn)y＝f(x)與曲線(xiàn)y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線(xiàn)，求a，b的值；(2)當(dāng)a2＝4b時(shí)，求函數(shù)f(x)＋g(x)的單調(diào)區(qū)間．[解析](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因?yàn)榍€(xiàn)y＝f(x)與曲線(xiàn)y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線(xiàn)，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．1．(2013年鄭州模擬)若函數(shù)f(x)＝mx2＋lnx－2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．此時(shí)g′(x)，g(x)
8、隨x的變化情況如下表：考向三 函數(shù)單調(diào)性與極值的綜合問(wèn)題[例3](2012年高考浙江卷)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝4x3－2ax＋a.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＋
9、2－a
10、>0.[解析](1)由題意得f′(x)＝12x2－2a.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．【思想方法】分類(lèi)討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用【典例】(2012年高考新課全國(guó)標(biāo)卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大
11、值．【思路導(dǎo)析】(1)確定定義域后求f′(x)，解f
