關(guān)于循環(huán)矩陣及其推廣的幾個問題【文獻綜述】

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1、畢業(yè)論文文獻綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)于循環(huán)矩陣及其推廣的幾個問題通過近期準(zhǔn)備，指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，首先完成了一些論文材料準(zhǔn)備。材料大致來于三個方面：一是指導(dǎo)老師結(jié)合實際問題和需要相應(yīng)的給予一些；二是在圖書館里，查閱一些資料并做一些記錄；三是通過互聯(lián)網(wǎng)，在網(wǎng)上搜索一些相關(guān)的材料。在材料的整理和翻閱，通過文獻f7ul21我知道循環(huán)矩陣的概念性質(zhì)。首先，循環(huán)矩陣是T.Muir于1885年首先提出的，他對其進行了一些研宂。然而，直到1950年至1955年，I.LGood等才分別對循環(huán)矩陣的逆，行列式以及特征值進行丫研究。近年來，循環(huán)矩陣類已成為矩陣理論和應(yīng)用己成為矩陣理

2、論和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個非常活躍和重要的研究方向，在現(xiàn)代科技工程領(lǐng)域中被廣泛的應(yīng)用。例如在信號處理，圖象處理，小波變換，優(yōu)化設(shè)計，自回歸濾波器設(shè)計等領(lǐng)域常常耍用到這類特殊矩陣。另外，由于循環(huán)矩陣類有許多特殊而良好的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，己被廣泛應(yīng)用在應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域。如最優(yōu)化，矩陣分解，多目標(biāo)決策，圖論，傅氏變換等。由于循環(huán)矩陣類在應(yīng)用方面的廣泛性及迅猛發(fā)展，自從1950年以后，對它的研究引起了人們的高度重視。它不僅受到代數(shù)學(xué)界人士的重視，而且受到了計算數(shù)學(xué)界，應(yīng)用數(shù)學(xué)界等許多領(lǐng)域研究人員的重視。另外，關(guān)于它的理論研究方面也得到了飛速發(fā)展。迄今為止，對于經(jīng)

3、典循環(huán)矩陣的所做的研宂已有很多。同時，各種新的循環(huán)矩陣被相繼提出。至今，已有幾十種。如:r-循環(huán)矩陣，向后（對稱）r-循環(huán)矩陣，鱗狀因子循環(huán)矩陣置換因子循環(huán)矩陣14］等。求解線性方程組的問題經(jīng)常出現(xiàn)在相當(dāng)廣泛的實際問題中，特別是一些高階線性方程組的解，用克萊姆法則，當(dāng)n很大時，需要大的驚人的計算工作量。因此，對于實際求解一個高階的線性方程組來來說，理論上是十分漂亮的克萊姆法則并不適用。于是，尋求適用于計算機的切實可行的方法就是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重要的研究方內(nèi)。循環(huán)線性方程組的求解，在線性預(yù)測、誤差控制碼、自冋歸濾波器設(shè)計領(lǐng)域內(nèi)起著重要作用。在新的循環(huán)矩陣被相繼

4、提出，以及相關(guān)研究的深入，我們也取得很多豐宮的成果。在置換因子循環(huán)矩陣算法上有了成果。在r-循環(huán)陣的逆陣或廣義逆陣也有了新認識，關(guān)于盾環(huán)矩陣的非異性的認識也有新發(fā)展。在一些基礎(chǔ)理論的前進中，一些關(guān)于算法的研究也在飛速的發(fā)展屮，特別是一些有巨人應(yīng)用空間的快速算法。如：循環(huán)線性系統(tǒng)求解的快速算法，置換因子循環(huán)系統(tǒng)求解的快速算法1151。在自回歸濾波器設(shè)計、計算機時序分析等領(lǐng)域中的許多問題都與周期性有關(guān)，從而導(dǎo)致一類特殊的矩陣:r-循環(huán)矩陣。r-循環(huán)線性系統(tǒng)的求解在普分析，線性預(yù)測，最小二乘方估計，誤差控制碼及自回歸濾波器設(shè)計等領(lǐng)域內(nèi)起著重要作用。因此，不少數(shù)學(xué)

5、工作者對r-循環(huán)線性系統(tǒng)的求解引入了多種快速算法但是他們都要計算大量的三角函數(shù)，有的還要將實數(shù)化為非實數(shù)(虛數(shù))。于是，不僅存在誤差，而且還要影響效率。因此有數(shù)學(xué)工作者引入了新的多項式快速算法'該快速算法僅利用r-循環(huán)線性系統(tǒng)中r-循環(huán)矩陣的第一行元素及r常數(shù)項進行計算，故在理論上是精確的，在計算機上實現(xiàn)時只有舍入誤差。為了減小誤差，可將算法屮的數(shù)用分數(shù)表示。特別，當(dāng)在有理數(shù)域中討論該線性系統(tǒng)的求解吋，用計算機求的解是精確的。該算法有一個顯著特點是不需要預(yù)先知道r-循環(huán)矩陣是非奇異還是奇異。A-循環(huán)矩陣包括了許多循環(huán)矩陣的推廣類。如果取4=其中C2，…，f

6、?是單位向量，A(x)=xn-1，那么A-循環(huán)矩陣就是循環(huán)矩陣.如果取A=(-en,e[Je2,--,en_i),fA(x)=xn+l,那么A-循環(huán)矩陣就是反循環(huán)矩陣.如果取A=(rey2,…，^),人⑺=那么A-循環(huán)矩陣就是循環(huán)矩陣.如果＞1取置換矩陣P,人(x)=Z-l，那么A-循環(huán)矩陣就是置換因子循環(huán)矩陣.另外/(X)-循環(huán)矩陣，對角因子循環(huán)矩陣等都是循環(huán)矩陣.但在關(guān)于A-循環(huán)矩陣的快速求解問題的研允上并未有人涉足過，我們認為A-循環(huán)矩陣作為循環(huán)矩陣屮一種特殊矩陣在一些領(lǐng)域內(nèi)將會有重大的作用，在A-循環(huán)矩陣這方面，國內(nèi)也有一些學(xué)者做出了出色的成果。我

7、們認為如果能在前面學(xué)者的基礎(chǔ)上，再結(jié)合自己的一些研究，在A-循環(huán)矩陣系統(tǒng)快速求解的問題上是可以取得不錯的成績的。因此在了解循環(huán)矩陣的性質(zhì)mn41以及r-循環(huán)分塊矩陣的兒個性質(zhì)『81的基礎(chǔ)上，擬將循環(huán)線性系統(tǒng)的一些結(jié)果推廣到A-循環(huán)矩陣線性系統(tǒng)中，擬解決的主要問題：(1)A-循環(huán)矩陣線性方程組有解的判定，(2)A循環(huán)矩陣線性系統(tǒng)求解的快速算法。如果這兩個方面解決好，就解決了關(guān)于A-循環(huán)矩陣的快速算法的一些基本性的問題了，我們相信這次研究成果加上其他一些學(xué)者的研究成果對于完善A-循環(huán)矩陣的快速算法問題這研究領(lǐng)域是有幫助的。隨著A-循環(huán)矩陣快速算法的研宄的不斷深

8、入，其豐富的研宂成果對于循環(huán)矩陣的研宂將有極大幫助，對循環(huán)矩陣快速