狄拉克場(chǎng)和費(fèi)米子.doc

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1、§3.4狄拉克場(chǎng)和費(fèi)米子1.經(jīng)典場(chǎng)。狄拉克場(chǎng)的拉格朗日密度為：（1）正則坐標(biāo)為，相應(yīng)的正則動(dòng)量為：（2）由于中不含有的導(dǎo)數(shù)，所以不是正則坐標(biāo)。狄拉克場(chǎng)的能量，動(dòng)量，守恒荷（3）（4）（5）2.量子化把與看作算符，滿(mǎn)足一定的對(duì)易關(guān)系。與克萊因-戈登場(chǎng)不同，克萊因-戈登場(chǎng)描述的是自旋為零的玻色子，而狄拉克場(chǎng)描述的是自旋為的費(fèi)米子，遵從泡利不相容原理，即同一個(gè)量子態(tài)只允許有一個(gè)粒子。如果將與的對(duì)易關(guān)系取成與克萊因-戈登場(chǎng)相同的形式，即（6）則將有態(tài)存在，即n個(gè)具有相同能量與動(dòng)量的費(fèi)米子處于同一量子態(tài)，這

2、是不允許的。因此狄拉克場(chǎng)的量子化不能按照（6）式進(jìn)行，而應(yīng)另想辦法。該辦法就是將與取成如下對(duì)易關(guān)系，（7）與（6）式的差別僅在于將對(duì)易子換成反對(duì)易子。這差別是唯一的，也是基本的和十分重要的。由此引出的值次是大不相同的。由于（3）式的場(chǎng)能量算符包含兩個(gè)3費(fèi)米算符的乘積，相當(dāng)于一個(gè)玻色算符，故算符運(yùn)動(dòng)方程保持不變，即：，（8）將H的表達(dá)式（3）代入上式得：利用公式：則上式可以寫(xiě)成：因此得：亦即：（9）這就是人們熟知的狄拉克方程，它現(xiàn)在是算符運(yùn)動(dòng)方程。3.一般解由第一章的討論我們知道，狄拉克方程（9）有

3、正能解與負(fù)能解，，（10）其一般解由其疊加而成，即（11）式中，是能量為E，動(dòng)量為，自旋為s的旋量波函數(shù)，是能量為-E，動(dòng)量為-，自旋為s的波函數(shù)。，，，是展開(kāi)系數(shù)，是算符。利用，的正交歸一化關(guān)系（12）以及平面波的正交歸一化關(guān)系：由（11）式可以推出（13）例如，將的展開(kāi)式（11）代入（13）式第一式得：4．動(dòng)量、自旋函數(shù)算符由此可見(jiàn)，量子化的狄拉克場(chǎng)，既可以用時(shí)空函數(shù)算符，描述，亦可用動(dòng)量，自旋函數(shù)算符，，及描述。它們之間由（11）與（13）式相聯(lián)系。時(shí)空函數(shù)算符，滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系（7）式，由該對(duì)

4、易關(guān)系，我們可以得到動(dòng)量函數(shù)算符，，，滿(mǎn)足如下對(duì)易關(guān)系：（14）其余算符都反對(duì)易。例如由（13）式得：又：=0將（11）式代入狄拉克場(chǎng)的能量，動(dòng)量，守恒荷表達(dá)式（3），（4），（5）表達(dá)式得：（15）例如：將算符換成動(dòng)量算符，亦即在上述計(jì)算中，將E換成，其結(jié)果就是場(chǎng)的動(dòng)量算符表達(dá)式。在上面的計(jì)算中，去掉算符，即在最后結(jié)果中去掉E，并將第二項(xiàng)的“-”號(hào)變成“+”，就可以得到守恒荷的動(dòng)量算符表達(dá)式。（注意是對(duì)所有正，反粒子的電荷求和，應(yīng)為零）5.粒子性在場(chǎng)的能量，動(dòng)量，守恒荷的表達(dá)式中，描述場(chǎng)的基本算

5、符，，，以組合（16）的形式出現(xiàn)，根據(jù)對(duì)易關(guān)系（14）可以證明（17）例如：在N和的對(duì)角表象中，令，則，故=0，1，故=0，1即N或的本征值只有兩個(gè)，一個(gè)為0，另一個(gè)為1.又同理：由此可見(jiàn)，，，是粒子的消滅算符，產(chǎn)生算符及粒子數(shù)算符。而，，是反粒子的消滅算符，產(chǎn)生算符與粒子數(shù)算符等。正，反粒子的差別僅在于它們的守恒荷差了一個(gè)符號(hào)?！?.5庫(kù)侖規(guī)范的電磁場(chǎng)和光子用電磁勢(shì)描述的電磁場(chǎng)，要在一定的規(guī)范條件下才會(huì)有意義，但規(guī)范條件卻帶來(lái)了量子化的困難，因此，電磁場(chǎng)的量子化是比較困難的。這里，我們先討論庫(kù)侖

6、規(guī)范條件下電磁場(chǎng)的量子化。1.經(jīng)典場(chǎng)。電磁場(chǎng)的拉格朗日密度為（1）在庫(kù)侖規(guī)范條件，（2）的條件下，該拉格朗日密度可以寫(xiě)成（§2.3，14’式）（3）由此可見(jiàn)，可以看成是正則坐標(biāo)，而正則動(dòng)量為：（4）則場(chǎng)的能量，動(dòng)量為：（5）（6）2.量子化將正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量看作算符，滿(mǎn)足正則對(duì)易關(guān)系。（7）就完成了量子化手續(xù)。這是前面幾節(jié)行之有效的方法?？墒窃谶@里卻行不通，因?yàn)閷?duì)上面第一式求導(dǎo)可得：亦即：由于庫(kù)侖規(guī)范條件，故上式成為：（8）這顯然是錯(cuò)誤的。之所以出現(xiàn)這樣的問(wèn)題，是由于三對(duì)正則坐標(biāo)，正則動(dòng)量（i=

7、1，2，3）中，因規(guī)范條件的限制，只有兩對(duì)是獨(dú)立的。上述的量子化方法，對(duì)獨(dú)立的正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量是正確的，對(duì)非獨(dú)立的正則坐標(biāo)的正則動(dòng)量就需要修改。為此我們將它們用兩對(duì)獨(dú)立的正則變量作展開(kāi)。（9）其中，=1，2是§1.5節(jié)引入的橫極化矢量，，顯然滿(mǎn)足庫(kù)侖規(guī)范條件（10）所以，（=1，2）與，相應(yīng)，就是兩對(duì)獨(dú)立的正則算符，滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系（11）由（9）與（11）兩式可以導(dǎo)出正則變量，滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系，（12）例如：這里，在倒數(shù)第二行，用到了或（14）其中是相空間的大小，是相格的體積，就是相格數(shù)，對(duì)相格的求和

8、，在連續(xù)情況下就成為對(duì)相空間的積分。容易證明，（12）式所表示的對(duì)易關(guān)系，滿(mǎn)足庫(kù)侖規(guī)范的條件，因?yàn)椋鹤筮?右邊==0故對(duì)易關(guān)系（12）與庫(kù)侖規(guī)范條件不矛盾。象通常一樣，正則坐標(biāo)與正則動(dòng)量滿(mǎn)足正則運(yùn)動(dòng)方程。（15）將H的（5）式表達(dá)式代入上式得：亦即：或：（16）這就是算符的波動(dòng)方程。即為庫(kù)侖規(guī)范下的勢(shì)滿(mǎn)足的方程。3.一般解（16）式是關(guān)于的線(xiàn)性齊次方程，其解為如§1.5（31）式所示的平面波解（=1，2，3）由其疊加，可得（16）式的一般解為：（17）其中極化矢量滿(mǎn)足如§1.5節(jié)（