奧數(shù)：小學(xué)奧數(shù)系列：第10講 組合問題第02講

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1、第10講組合問題第02講構(gòu)造與論證之一【內(nèi)容概述】各種形式的構(gòu)造問題．解題時(shí)要不斷地調(diào)整設(shè)計(jì)方案以滿足全部要求，有時(shí)應(yīng)從簡單情形人手尋找規(guī)律．奇數(shù)與偶數(shù)在各種運(yùn)算下的關(guān)系，運(yùn)用奇偶性或數(shù)的整除性進(jìn)行簡單的論證．【典型問題】1.有一把長為9厘米的直尺，你能否在上面只標(biāo)出3條刻度線，使得用這把直尺一可以量出從1至9厘米中任意整數(shù)厘米的長度?2.一個(gè)三位數(shù)，如果它的每一位數(shù)字都不超過另一個(gè)三位數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，那么就稱它被后一個(gè)三位數(shù)“吃掉”．例如，241被352吃掉，123被123吃掉(任何數(shù)都可以被與它相同的數(shù)吃掉)，但240和223互相都不能被吃掉．現(xiàn)請(qǐng)你設(shè)計(jì)6個(gè)三位數(shù)，它

2、們當(dāng)中任何一個(gè)都不能被其他5個(gè)數(shù)吃掉，并且它們的百位數(shù)字只允許取1，2；十位數(shù)字只允許取1，2，3；個(gè)位數(shù)字只允許取1，2，3，4．問這6個(gè)三位數(shù)分別是多少?3.盒子里放著紅、黃、綠3種顏色的鉛筆，并且規(guī)格也有3種：短的、中的和長的．已知盒子里的鉛筆，3種顏色和3種規(guī)格都齊全.問是否一定能從中選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規(guī)格上各不相同?4．一個(gè)立方體的12條棱分別被染成白色和紅色，每個(gè)面上至少要有一條邊是白色的，那么最少有多少條邊是白色的?5．國際象棋的皇后可以沿橫線、豎線、斜線走，為了控制一個(gè)4×4的棋盤至少要放幾個(gè)皇后?6．在如圖10—1所示表格第二行的每個(gè)空格內(nèi)，

3、填人一個(gè)整數(shù)，使它恰好表示它上面的那個(gè)數(shù)字在第二行中出現(xiàn)的次數(shù)，那么第二行中的5個(gè)數(shù)字各是幾?7．在100個(gè)人之間，消息的傳遞是通過電話進(jìn)行的，當(dāng)甲與乙兩個(gè)人通話時(shí)，甲把他當(dāng)時(shí)所知道的一切信息全部告訴乙，乙也把自己所知道的全部信息告訴甲．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使得只需打電話196次，就可以使得每個(gè)人都知道其他所有人的信息．8．有一張8×8的方格紙，每個(gè)方格都涂上紅、藍(lán)兩色之一．能否適當(dāng)涂色，使得每個(gè)3×4小長方形(不論橫豎)的12個(gè)方格中都恰有4個(gè)紅格和8個(gè)藍(lán)格?9．桌上放有1993枚硬幣，第一次翻動(dòng)1993枚，第二次翻動(dòng)其中的1992枚，第三次翻動(dòng)其中的1991枚，……，依此類

4、推，第1993次翻動(dòng)其中的一枚．能否恰當(dāng)?shù)剡x擇每次翻動(dòng)的硬幣，使得最后桌上所有的硬幣原先朝下的一面都朝上?10．能否在5×5方格表的各個(gè)小方格內(nèi)分別填人數(shù)1，2?！?4，25，使得從每行中都可以選擇若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)的和等于該行中其余各數(shù)之和?11．把圖10—2中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色．問：能否使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)?12．在99枚外觀相同的硬幣中，要找出其中的某些偽幣．已知每枚偽幣與真幣的重量相差奇數(shù)克，而所給硬幣的總量恰等于99枚真幣的重量．今有能標(biāo)明兩盤重量之差的天平，證明：只要稱一次即可辨別出預(yù)先選擇的一枚硬幣是否為偽幣．13．在象棋比賽中，勝者得1分；

5、敗者扣1分；若為平局，則雙方各得0分．今有若干名學(xué)生進(jìn)行比賽，每兩人之間都賽一局．現(xiàn)知，其中有一個(gè)學(xué)生共得7分，另一個(gè)學(xué)生共得20分．試說明，在比賽過程中至少有過一次平局．14．如圖10—3，在3×3的方格表中已經(jīng)填人了9個(gè)整數(shù)．如果將表中同一行或同一列的3個(gè)數(shù)加上相同的整數(shù)稱為一次操作：問：你能否通過若干次操作使得表中9個(gè)數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)?15．今有長度為1，2，3，…，198，199的金屬桿各一根，能否用上全部的金屬桿，不彎曲其中的任何一根，把它們焊接成(1)一個(gè)正方體框架?(2)一個(gè)長方體框架?【參考答案】1．1，2，6；1，4，7；2，5，8或3，7，8.2.114,

6、123,132,213,222,231.3．不能．例如盒子里只有規(guī)格和顏色分別為斷紅、短黃短綠、中冬、長紅的5支鉛筆.4.3條.5.2個(gè).6.5個(gè)數(shù)字從左到右依次是2，1，2，0，0.7．4個(gè)人通話4次可互相傳遞全部信息；之后每增加1個(gè)人，在最初和最后各增加1次通話即可.8.能．如圖10-4，標(biāo)注“紅”字的格染紅色，其余的格染藍(lán)色.9.能.注意1993=1+1991=2+1991=…=996+997.10.不能.因?yàn)楸碇兴懈鲾?shù)之和為奇數(shù).11．不能．因?yàn)槲鍡l線上的紅圈數(shù)之和等于圖中紅圈數(shù)的2倍，是偶數(shù).12.將余下的98枚硬幣任意分放在天平兩側(cè)，重量差為奇數(shù)則說明事先選定的

7、硬幣是偽幣.13.若無平局，則所有人的總得分奇偶性相同.14.不能．因?yàn)楸碇懈鲾?shù)人之和不能被3除盡．15.(1)不能.因?yàn)樗薪饘贄U的長度之和不能被12除盡．（2）能.注意199=l+198=2+197=…=99+100，故可焊接成一條長、寬、高分別為199×12，199×12，199的長方體框架．【難度等級(jí)】五一促銷方案一．活動(dòng)主題：購凱萊地板免費(fèi)游港澳好禮送不停贏取華碩筆記本電腦二．活動(dòng)時(shí)間：2011年4月9日——2011年5月6日三．活動(dòng)范圍：全省凱萊專賣店對(duì)于不參加本次促銷活動(dòng)的專賣店蘭州公司取