海倫公式的證明(精選多篇)

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1、海倫公式的證明與海倫在他的著作"metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別為a、b、c，則余弦定理為cosc=(a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1

2、/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]第二篇：海倫公式的幾種證明與推廣海倫公式的幾種證明與推廣古鎮(zhèn)

3、高級中學付增德高中數(shù)學必修⑤第一章在閱讀與思考欄目向?qū)W生介紹一個非常重要且優(yōu)美的公式——海倫公式〔heron'sformula〕：假設有一個三角形，邊長分別為a,b,c,，三角形的面積s可由以下公式求得：s?(p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p?12(a?b?c)，稱為半周長。圖1c第31頁共31頁海倫公式又譯希倫公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)morriskline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的

4、名發(fā)表。由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。海倫公式形式漂亮，結(jié)構(gòu)工整，有多種變形，如：s=p(p?a)(p?b)(p?c)222141414(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a214[(a?b)?c][c144ab22?(a?b)]22?b2第31頁共31頁2?c2?2ab)[?(a22?b42?c42?2ab)]4?(a2?b?c)222a

5、b2?2ac2?2bc22?a?b?c12absinc和余弦定理第31頁共31頁教課書中并以習題形式出現(xiàn)，給出的參考答案是利用三角形面積計算公式s?121212c2?a2?b2?2abcosc的證明過程：s?absinc=ab1?cosnc=2ab1?(a2?b2?c22ab2第31頁共31頁下略。我國南宋著名數(shù)學家秦九韶也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價的“三斜求積”公式，中國古代的天元術(shù)發(fā)展水平非常高，筆者猜想秦九韶在獨立推出“三斜求積”公式過程中，利用了解方程的方法，因此海倫公式可以作如下推證，從三角形最基本的

6、面積公式s?abc?12aha入手，利用勾股定理，布列方程組求高。如圖2，b圖2c?x2?y2?c2222?2a?c?b22在△abc中，ad為邊bc上的高，根據(jù)勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，2a?y?z?a?z?a?b?c2a，x?c?y?ca?c?b第31頁共31頁2a12a4ac22?(a?c?b)下略。在求22高的方法上，我們也可以用斯特瓦爾特定理，根據(jù)斯氏定理，△abc頂點a于對邊bc上任一點d間的距離ad有下列等式確定：abad?dc?ac?bd?ad?bc?bd?dc?bc，等式改

7、寫為?abdcbc?acbdbc?bcdcbcbdbcaa22而當點d是頂點a的正射影時,有bddcabcosbaccosc第31頁共31頁?c?b22?b?c22，利用比例的性質(zhì)，變形得bdbca?c22?b2adcbca?b22?c2a，代入即求出高ad。推證海倫公式也可以考慮應用三角函數(shù)的恒等式，容易證明下列三角恒等式：若∠a+∠b+∠c=180°那么abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1，222222zzc圖3如圖3,在△abc中，內(nèi)切圓⊙o的半徑是r,則tana2第31頁共3

8、1頁rx,tanb2ry,tanc2rz,代入恒等式tana2?tanb2+tana2?tanc2+tanb2?tanc2=1，得rxyrxzr第31頁共31頁yz?1，兩邊同乘xyz，有等式r(x?y?z)?xyz???①又，b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x，所以，x?z?a?b?cb?c?a，同理y?a?c?b。???②于是△abc的面積s?12(a?b?c)r=12(y?z?x?z?x?y)r=(x?