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《海倫公式的幾種證明與推廣》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、海倫公式的幾種證明與推廣古鎮(zhèn)高級(jí)中學(xué)付增德高中數(shù)學(xué)必修⑤第一章在閱讀與思考欄目向?qū)W生介紹一個(gè)非常重要且優(yōu)美的公式——海倫公式〔Heron'sFormula〕：假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積可由以下公式求得：，而公式里的，稱為半周長(zhǎng)。海倫公式又譯希倫公式，傳說(shuō)是古代的敘拉古國(guó)王希倫二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求取三角形面積。但根據(jù)MorrisKline在1908年出版的著作考證，這條公式其實(shí)是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表。由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個(gè)三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說(shuō)測(cè)量土地的面積的時(shí)候，不
2、用測(cè)三角形的高，只需測(cè)兩點(diǎn)間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。海倫公式形式漂亮，結(jié)構(gòu)工整，有多種變形，如：S======教課書中并以習(xí)題形式出現(xiàn)，給出的參考答案是利用三角形面積計(jì)算公式和余弦定理的證明過(guò)程：==下略。我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價(jià)的“三斜求積”公式，中國(guó)古代的天元術(shù)發(fā)展水平非常高，筆者猜想秦九韶在獨(dú)立推出“三斜求積”公式過(guò)程中，利用了解方程的方法，因此海倫公式可以作如下推證，從三角形最基本的面積公式入手，利用勾股定理，布列方程組求高。如圖2，5在△ABC中，AD為邊BC上的高，根據(jù)勾股定理，有解方程，得，，下略。在求高的方法上，我們也可以
3、用斯特瓦爾特定理，根據(jù)斯氏定理，△ABC頂點(diǎn)A于對(duì)邊BC上任一點(diǎn)D間的距離AD有下列等式確定：，等式改寫為而當(dāng)點(diǎn)D是頂點(diǎn)A的正射影時(shí),有，利用比例的性質(zhì)，變形得，，代入即求出高AD。推證海倫公式也可以考慮應(yīng)用三角函數(shù)的恒等式，容易證明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠C=180°那么++=1，5如圖3,在△ABC中，內(nèi)切圓⊙O的半徑是r,則,,,代入恒等式++=1，得，兩邊同乘，有等式………①又，，所以，，同理，?！谟谑恰鰽BC的面積===，把①、②式代入，即得=三角形的面積和三邊有如此優(yōu)美和諧的關(guān)系，我們不禁會(huì)類比猜想，簡(jiǎn)單四邊形的面積和它的四條邊又是什么關(guān)系
4、呢？由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)四條邊長(zhǎng)分別為，且,則S四邊形=現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。證明：如圖，延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)E。設(shè)EA=eEB=f∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○∴∠1=∠3∴△EAB～△ECD∴==，=5解得：e=③f=④由于S四邊形ABCD=S△EAB將③，④跟b=代入海倫公式公式變形，得：∴S四邊形ABCD===========所以，海倫公式的推廣得證。5參考文獻(xiàn)［1］七市高中選修教材編寫委員會(huì)．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題探究[M]．北京：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，2003：14～２６．［2］王林全．初等幾
5、何研究教程[M]．廣州：暨南大學(xué)出版社，１９９６．5
