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《海倫公式的幾種證明與推廣》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、海倫公式的幾種證明與推廣古鎮(zhèn)高級(jí)中學(xué)付增德高中數(shù)學(xué)必修⑤第一章在閱讀與思考欄目向?qū)W生介紹一個(gè)非常重要且優(yōu)美的公式——海倫公式〔Heron'sFormula〕:假設(shè)有一個(gè)三角形,邊長(zhǎng)分別為,三角形的面積可由以下公式求得:,而公式里的,稱為半周長(zhǎng)。海倫公式又譯希倫公式,傳說(shuō)是古代的敘拉古國(guó)王希倫二世發(fā)現(xiàn)的公式,利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求取三角形面積。但根據(jù)MorrisKline在1908年出版的著作考證,這條公式其實(shí)是阿基米德所發(fā)現(xiàn),以托希倫二世的名發(fā)表。由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個(gè)三角形,所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說(shuō)測(cè)量土地的面積的時(shí)候,不
2、用測(cè)三角形的高,只需測(cè)兩點(diǎn)間的距離,就可以方便地導(dǎo)出答案。海倫公式形式漂亮,結(jié)構(gòu)工整,有多種變形,如:S======教課書中并以習(xí)題形式出現(xiàn),給出的參考答案是利用三角形面積計(jì)算公式和余弦定理的證明過(guò)程:==下略。我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價(jià)的“三斜求積”公式,中國(guó)古代的天元術(shù)發(fā)展水平非常高,筆者猜想秦九韶在獨(dú)立推出“三斜求積”公式過(guò)程中,利用了解方程的方法,因此海倫公式可以作如下推證,從三角形最基本的面積公式入手,利用勾股定理,布列方程組求高。如圖2,5在△ABC中,AD為邊BC上的高,根據(jù)勾股定理,有解方程,得,,下略。在求高的方法上,我們也可以
3、用斯特瓦爾特定理,根據(jù)斯氏定理,△ABC頂點(diǎn)A于對(duì)邊BC上任一點(diǎn)D間的距離AD有下列等式確定:,等式改寫為而當(dāng)點(diǎn)D是頂點(diǎn)A的正射影時(shí),有,利用比例的性質(zhì),變形得,,代入即求出高AD。推證海倫公式也可以考慮應(yīng)用三角函數(shù)的恒等式,容易證明下列三角恒等式:若∠A+∠B+∠C=180°那么++=1,5如圖3,在△ABC中,內(nèi)切圓⊙O的半徑是r,則,,,代入恒等式++=1,得,兩邊同乘,有等式………①又,,所以,,同理,?!谟谑恰鰽BC的面積===,把①、②式代入,即得=三角形的面積和三邊有如此優(yōu)美和諧的關(guān)系,我們不禁會(huì)類比猜想,簡(jiǎn)單四邊形的面積和它的四條邊又是什么關(guān)系
4、呢?由于三角形內(nèi)接于圓,所以猜想海倫公式的推廣為:在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中,設(shè)四條邊長(zhǎng)分別為,且,則S四邊形=現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。證明:如圖,延長(zhǎng)DA,CB交于點(diǎn)E。設(shè)EA=eEB=f∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○∴∠1=∠3∴△EAB~△ECD∴==,=5解得:e=③f=④由于S四邊形ABCD=S△EAB將③,④跟b=代入海倫公式公式變形,得:∴S四邊形ABCD===========所以,海倫公式的推廣得證。5參考文獻(xiàn)[1]七市高中選修教材編寫委員會(huì).?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題探究[M].北京:生活·讀書·新知三聯(lián)書店,2003:14~26.[2]王林全.初等幾
5、何研究教程[M].廣州:暨南大學(xué)出版社,1996.5