海倫公式的證明

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1、海倫公式的證明第一篇：海倫公式的證明與海倫在他的著作metrica(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為a、b、c，則余弦定理為cosc=(a+b-c)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cosc)=1/2*ab*√[1-(a+b-c)/4a*b]=1/4*√[4a*b-(a+b-c)]=1/4*√[(2ab+a+b-c)(2ab-a-b+c)]=1/4*√[(a+b

2、)-c][c-(a-b)]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]第二篇：海倫公式的幾種證明與推廣海倫公式的幾種證明與推廣古鎮(zhèn)高級中學(xué)付增德高中

3、數(shù)學(xué)必修⑤第一章在閱讀與思考欄目向?qū)W生介紹一個非常重要且優(yōu)美的公式——海倫公式〔heron'sformula〕：假設(shè)有一個三角形，邊長分別為a,b,c,，三角形的面積s可由以下公式求得：s?(p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p?12(a?b?c)，稱為半周長。圖1c海倫公式又譯希倫公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)morriskline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表。由于任何n邊的多邊

4、形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。海倫公式形式漂亮，結(jié)構(gòu)工整，有多種變形，如：s=p(p?a)(p?b)(p?c)222===141414(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a2=14[(a?b)?c][c144ab22?(a?b)]22?b22?c2?2ab)[?(a22?b42?c42?2ab)]4=?(a2?b?c)222ab2?2ac2?2bc2

5、2?a?b?c12absinc和余弦定理教課書中并以習(xí)題形式出現(xiàn)，給出的參考答案是利用三角形面積計算公式s?121212c2?a2?b2?2abcosc的證明過程：s?absinc=ab1?cosnc=2ab1?(a2?b2?c22ab)2下略。我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價的“三斜求積”公式，中國古代的天元術(shù)發(fā)展水平非常高，筆者猜想秦九韶在獨立推出“三斜求積”公式過程中，利用了解方程的方法，因此海倫公式可以作如下推證，從三角形最基本的面積公式s?abc?12aha入手，利用勾股定

6、理，布列方程組求高。如圖2，b圖2c?x2?y2?c2222?2a?c?b22在△abc中，ad為邊bc上的高，根據(jù)勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，2a?y?z?a?z?a?b?c2a，x?c?y?c?(a?c?b2a)?12a4ac22?(a?c?b)下略。在求22高的方法上，我們也可以用斯特瓦爾特定理，根據(jù)斯氏定理，△abc頂點a于對邊bc上任一點d間的距離ad有下列等式確定：abad?dc?ac?bd?ad?bc?bd?dc?bc，等式改寫為?ab?dcbc?ac?bdbc?bc?d

7、cbc?bdbcaa22而當(dāng)點d是頂點a的正射影時,有bddc?abcosbaccosc??c?b22?b?c22，利用比例的性質(zhì)，變形得bdbc?a?c22?b2a，dcbc?a?b22?c2a，代入即求出高ad。推證海倫公式也可以考慮應(yīng)用三角函數(shù)的恒等式，容易證明下列三角恒等式：若∠a+∠b+∠c=180°那么abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1，222222zzc圖3如圖3,在△abc中，內(nèi)切圓⊙o的半徑是r,則tana2?rx,tanb2?ry,tanc2?rz,代入

8、恒等式tana2?tanb2+tana2?tanc2+tanb2?tanc2=1，得rxy?rxz?ryz?1，兩邊同乘xyz，有等式r(x?y?z)?xyz???①又，b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x，所以，x?z?a?b?cb?c?a，同理y?a?c?b，。???②于是△abc的面積s?12(a?b?c)r=12(y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r=(x?y?z)r=14，把①、②式代入，即得s?(x?y?z)xyz(a?b?c)(a?b?c)(b