海倫公式的證明(精選多篇).doc

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1、海倫公式的證明(精選多篇)　　與海倫在他的著作"metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為a、b、c，則余弦定理為cosc=(a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/

2、4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]　　海倫公式的幾種證明與推廣　　古鎮(zhèn)高級中學(xué)付增德　　高中數(shù)學(xué)必修⑤第一章在閱讀

3、與思考欄目向?qū)W生介紹一個非常重要且優(yōu)美的公式——海倫公式〔heron'sformula〕：假設(shè)有一個三角形，邊長分別為a,b,c,，三角形的面積s可由以下公式求得：　　s?　　(p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p?　　12　　(a?b?c)，稱為半周長?！　D1　　c　　海倫公式又譯希倫公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)morriskline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表。由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2

4、個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。海倫公式形式漂亮，結(jié)構(gòu)工整，有多種變形，如：s=　　p(p?a)(p?b)(p?c)　　2　　2　　2　　===　　141414　　(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a　　2　　=　　14　　[(a?b)?c][c14　　4ab　　2　　2　　?(a?b)]　　2　　2　　?b　　2　　2　　?c　　2　　?2ab)[?(a　　2　　2　　?b　　4　　2　　?c

5、　　4　　2　　?2ab)]　　4　　=　　?(a　　2　　?b?c)　　22　　2ab　　2　　?2ac　　2　　?2bc　　22　　?a?b?c　　12　　absinc和余弦定理　　教課書中并以習(xí)題形式出現(xiàn)，給出的參考答案是利用三角形面積計算公式s?　　12　　12　　12　　c　　2　　?a　　2　　?b　　2　　?2abcosc的證明過程：s?absinc=ab1?cosnc=　　2　　ab1?(　　a　　2　　?b　　2　　?c　　2　　2ab　　)　　2　　下略。我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價的

6、“三斜求積”公式，中國古代的天元術(shù)發(fā)展水平非常高，筆者猜想秦九韶在獨立推出“三斜求積”公式過程中，利用了解方程的方法，因此海倫公式可以作如下推證，從三角形最基本的面積公式s?abc?　　12　　aha入手，利用勾股定理，布列方程組求高?！　∪鐖D2，　　b　　圖2　　c　　?x2?y2?c2　　222　　?2a?c?b22　　在△abc中，ad為邊bc上的高，根據(jù)勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，　　2a　　?y?z?a?z?　　a　　?b　　?c　　2a　　，x?c　　?y　　?c　　?(　　a　　?c　　?b　　2

7、a　　)　　?　　12a　　4ac　　22　　?(a　　?c　　?b)下略。在求　　22　　高的方法上，我們也可以用斯特瓦爾特定理，根據(jù)斯氏定理，△abc頂點a于對邊bc上任一點d間的距離ad有下列等式確定：ab　　ad　　?dc?ac　　?bd?ad　　?bc?bd?dc?bc，等式改寫為　　?ab　　?　　dcbc　　?ac　　?　　bdbc　　?bc　　?　　dcbc　　?　　bdbc　　aa　　22　　而當(dāng)點d是頂點a的正射影時,有　　bddc　　?　　abcosbaosc　　?　　?c?b　　22　　?b?c　　

8、22　　，利用比例的性質(zhì)，變形得　　bdbc　　?　　a　　?c　　22　　?b　　2a　　，　　dcbc　　?　　a　　?b　　22　　?c　　2a　　，代入即求出高ad。推證海倫公式也可以考慮應(yīng)用三角函數(shù)　　的恒等式，容易證明下列三角恒等式：若∠a+∠b+∠c=180°那么　　abacbcta?ta