求極限值的若干方法3

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1、第25卷第1期呂梁高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)2009年3月Vol.25No.1JournalofLvliangHigherCollegeMar.20093求極限值的若干方法張穎(呂梁高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系,山西離石033000)摘要:本文主要概括了常用的求極限值的三種方法及其推廣形式.關(guān)鍵詞:極限;方法中圖分類號(hào):O171文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-7834(2009)01-0020-03極限論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ),極限問(wèn)題是數(shù)學(xué)分析中的困難問(wèn)題之一.中心問(wèn)題有兩個(gè),一是證明極限存在,二是求極限的值.兩個(gè)問(wèn)題有密切的關(guān)系:若求出了極限的值

2、,自然極限的存在性也被證明.反之,證明了存在性,常常也就為計(jì)算極限鋪平了道路.本文主要概括了人們常用的求極限值的若干方法,更多的方法,有賴于人們根據(jù)具體情況進(jìn)行具體的分析和處理.1初等變形求極限要點(diǎn)用初等數(shù)學(xué)的方法將xn變形,然后求極限.下例主要將xn寫成緊縮形式.例1:求limxn,設(shè)nv∞nxxxx1(1)xn=coscos2cos3?cosn;(2)xn=∑.2222i=13331+2+?+inx2sinn2解:(1)等式右邊乘以nx2sinn2xnxxxxsinxsinx2sinx則xn=coscos2cos3?cos

3、n==·v(當(dāng)nv∞時(shí))(x≠0),2222nxxxx2sinnsinn22sinx即limxn=.nv∞xnnn111(2)xn=∑=∑=∑i=1333i=1(1+2+?+i)2i=111+2+?+ii(i+1)2n111=2∑-=21-v2(當(dāng)nv∞時(shí)),即limxn=2.i=1ii+1n+1nv∞2利用變量替換求極限要點(diǎn)為了將未知的極限化簡(jiǎn),或轉(zhuǎn)化為已知的極限,可根據(jù)極限式的特點(diǎn),適當(dāng)引入新變量,去替換原有的變量,使原來(lái)的極限過(guò)程,轉(zhuǎn)化為新的極限過(guò)程.3收稿日期:2008211205項(xiàng)目基金:山西省呂梁高等?？茖W(xué)校校級(jí)科

4、研項(xiàng)目(KYY200805)資助課題作者簡(jiǎn)介:張穎(19782),女,漢族,山西離石人,呂梁高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系講師.20x1yn+x2yn-1+?+xny1例2:若limxn=a,limyn=b,試證lim=ab.nv∞nv∞nv∞n解:令xn=a+αn,yn=b+βn,則nv∞時(shí),αn,βnv0.x1yn+x2yn-1+?+xny1(a+α1)(b+βn)+(a+α2)(b+βn-1)+?+(a+αn)(b+β1)于是=nnβ1+β2+?+βnα1+α2+?+αnα1βn+α2βn-1+?+αnβ1=ab+a·+b·+,nn

5、n當(dāng)nv∞時(shí),第二、三項(xiàng)趨于零,現(xiàn)證第四項(xiàng)極限亦為零.事實(shí)上,因?yàn)棣羘v0(當(dāng)nv∞時(shí)),故{αn}有界,即vM>0,使得

6、αn

7、≤M,(Pn∈N+),故α1βn+α2βn-1+?+αnβ1

8、βn

9、+

10、βn-1

11、+?+

12、β1

13、0<≤Mv0.nn從而上式以ab為極限.[注]本例的變換具有一般性,常用這種變換,可將一般情況歸結(jié)為特殊情況.如本例原來(lái)是已知limxn=nv∞x1yn+x2yn-1+?+xny1a,limyn=b,求證lim=ab.變換后,歸結(jié)為已知limαn=0,limβn=0,求證limnv∞nv∞nnv∞nv∞n

14、v∞α1βn+α2βn-1+?+αnβ1=0.n3兩邊夾法則3.1兩邊夾法則要點(diǎn)當(dāng)極限不易直接求出時(shí),可考慮求極限的變量,作適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小,使放大,縮小所得的新變量,易于求極限,且二者的極限值相同,則原極限存在,且等于此公共值.1例3:求limx.xv0x111解:因?yàn)?1<≤(x≠0時(shí)),xxx11由此,當(dāng)x>0時(shí)1-xx≥1;xx1故limx=1.xv0x1·3??(2n-1)例4:求limxn=lim.nv∞nv∞2·4??(2n)(2n-1)+(2n+1)解:因?yàn)?n=>(2n-1)(2

15、n+1),21·3??(2n-1)1由此可知,00,在區(qū)間[0,1]上連續(xù),試證:lim∑f·=maxf(x).nv∞i=1nn0≤x≤1證明記M=maxf(x),則0≤x≤1nnni1xn≡∑f·≤M,(1)i=1nn將xn縮小,使縮小所得到的量以M為極限,或者雖然不等于M,但跟M只相差一個(gè)任意小量,

16、因?yàn)閒(x)連續(xù),根據(jù)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),則vx0∈[0,1],使得f(x0)=M,于是Pε>0,vδ>0,當(dāng)

17、x-x0

18、<δ,x∈21[0,1]時(shí),有M-εM-ε,nn故nnnni1ni011