一些冪零leibniz代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)與相關(guān)性質(zhì)

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1、第一章引言J．·L．Loday在1993年及2001年的幾篇文章(見【1】，【2】等)中介紹了一些新的代數(shù)的分類，它們中有的代數(shù)具有兩種運(yùn)算，這樣的代數(shù)稱為對代數(shù)，引出這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)的最主要的動機(jī)就是解決代數(shù)K理論中提出的有關(guān)問題以及它們與我們熟知的李代數(shù)和結(jié)合代數(shù)關(guān)系緊密．這些代數(shù)范疇在它們所定義的運(yùn)算下級中形成了以下交換圖：結(jié)合對代數(shù)mz代數(shù)這個(gè)交換圖清楚地反映了這些代數(shù)范疇之間的Kozul對偶性．Loday引出了作為李代數(shù)的非交換情形的LeibIliz代數(shù)，Leibniz在數(shù)學(xué)及物理學(xué)等學(xué)科中都有重要的意義，參見【3】．作

2、為代數(shù)，它滿足以下等式：h，【)，，z】】=【h，y】，z】一【【z，z】，力．1998，1999，2001年，AyupoV和OrIlirov對低維Leibmz代數(shù)的冪零性以及它的分類進(jìn)行了研究，(參見【4】)，提出了有限維LeibTliz代數(shù)冪零可解的充要條件．2005年，S．Albeverio，Sh．A．Ayupov和B．A．Om的v對冪零和單LeibIliz代數(shù)做了進(jìn)一步的研究，證明了在特征為O的域上，滿足Engel的n階條件的任一LeiⅢz代數(shù)是冪零的(參見[5】)．、第一章引言22006年，在【6】一文中，S．Albe

3、verio，B．A．0砸rov'和I．S．Ral(himov討論了四維冪零Leibmz代數(shù)的分類，本文的主要目的之一就是討論這一類代數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．近一兩年來，燦iceFialowsl【i和AshisMandal等人討論了李代數(shù)的李變形以及將它看做LeibIliz代數(shù)時(shí)的LeibIliz變形，(參見【7】，【8】，【9】)等，他們討論了李變形以及Leibniz變形，劉東等人也深入研究了LeibIliz代數(shù)的結(jié)構(gòu)，(參見【12】，【13】，【14】)，這些問題中有很多是計(jì)算Leib血z代數(shù)的二階上同調(diào)問題，本文受此啟發(fā)Matlab程

4、序討論了最簡線狀李代數(shù)的二階上同調(diào)及將它們看作L崩bIliz代數(shù)的二階上同調(diào)．第二章四維冪零Leibniz代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)2．1基本概念和定理定義2．1．一個(gè)Leibmz代數(shù)2是一個(gè)向量空間，上面定義了一個(gè)括積：【一，一】：Q×e一÷e，滿足LeibIliz等式：h，【)，，z】】=[h，糾，z】一【h，z】，糾，V五弘z∈Q．注：李代數(shù)是乘積滿足反交換律的Leibmz代數(shù)．定義2．2．設(shè)e是一個(gè)Leibmz代數(shù)，子空間，c2稱為2的左(右)理想，如果V口∈，和工∈2，有【x，口】∈J(k，明∈D．如果J既是左理想又是

5、右理想，稱，是e的雙邊理想．定義23．對Leiblliz代數(shù)g，我們定義以下的理想序列：(a)21=2，2以+l=【Q開，Q】，甩>O．顯然有21)e2)?]2“)?．(b)2‘1>=e，￡伽+1)=【e<吣，Q(”’】，，l>0，則有Q《1’)2《2’)?)2伽’)?．稱一個(gè)Leiblliz代數(shù)Q是冪零的，如果存在整數(shù)n>0使得驢=0；稱e是可解的，如果存在整數(shù)m>O使得2

6、=【D(工)，力+【J，D◇)】，則稱D為e的一個(gè)導(dǎo)子．a(chǎn)d缸口)：=一k，明，則ad工為一個(gè)導(dǎo)子，稱ad石為Q的內(nèi)導(dǎo)子．3第二章四維冪零Leiblljz代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)4定理2．1．參見，卯在同構(gòu)意義下，四維非李且不分裂LeibIliz代數(shù)分為以下五類單參數(shù)及十二類具體類：欺1：【Pl，Pl】=P2，【P2，Pl】2旬，【P3，Pl】2鉑；2≈2：【Pl，Pl】=P3，【Pl，P2】=臼，【已2，Pl】=P3，【已3，PI】2鉑；俄3：№l，PI】=P3，【龜，P1】=旬，【P3，Pl】=臼；欺：：kl'Pl】=P3

7、，№l，P2】=口％，【Q，Pl】=P3，【吮，P2】=鉑，【P3，Pl】=鉑，口∈{O，lJ；冀5：№l’已l】=臼，№“晚】=“，【P3，P1】=鉑；冀6：№1，已I】=旬，【晚，晚】=幻，【旬，已I】=?。籖7：№l，已l】=臼，№l，晚】=旬，【晚，Pl】=一句，【吃，P2】=一2旬+％；俄8：pl，P2】=P3，【晚，PI】=臼，【晚，P2】=一句；Rg：【Pl'PI】=P3，【P1'龜】=“，[吮，已l】=一口P3，【兜，已2】=一“，口∈C；R％：№l’Pl】=“，【Pl，虧2】=岫，【勿，Pl】=一岫，【眈，免】

8、=啊，【P3，已3】=“，口∈C；默ll：【Pl’晚】=翻，№l，已3】=幻，【眈，已l】=一“，【吮，眈】=鉑，【已3，已l】=“；民12：№l’ea=臼，№l’Q】=鉑，【眈，Pt】=一國，【P3，93】=“：R13：№l'晚】=P3，k，Pl】=以；欺14