勾股定理（基礎(chǔ)）知識(shí)講解

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1、勾股定理（基礎(chǔ)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長.2.學(xué)握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問題.3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題.要點(diǎn)梳理要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為J那么要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)

2、題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的-些變式：才=八扌，F(xiàn)=扌-才,要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）屮=c^=(A-of+4x,所以方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.(3)要點(diǎn)三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊;2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長

3、為&的線段.典型例題類型一、勾股定理的直接應(yīng)用1、在△ABC中，ZC=90°,ZA>ZB、ZC的對(duì)邊分別為匕、b、c.(1)若宀=5,“=12,求J(2)若c=26,&=24,求久【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理/+心7=/來求未知邊長.【答案與解析】解：(1)因?yàn)锳ABC中，ZC=90°,=<^,。=5,占=12,所以

4、知直角三角形的兩邊求第三邊長關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再?zèng)Q定用勾股原式還是變式.典型例題類型二、勾股定理的證明2、如圖所示，在RtAABC中，ZC=90°,AM是中線，MN丄AB,垂足為N,試說明a-血.AC?■【答案與解析】解：因?yàn)镸N1AB,所以血+3二應(yīng)，B卄所以血一血=應(yīng)-&"因?yàn)锳M是中線,所以MC=MB.又因?yàn)閆C=90°,所以在RtAAMC中，,所以血?丄￡巴【總結(jié)升華】證明帶有平方的問題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.若沒有直角三角形，常常通過作垂線構(gòu)造直角三角

5、形，再用勾股定理證明.類型三、利用勾股定理作長度為Jn的線段3、作長為血、不、話的線段.【思路點(diǎn)撥】由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于農(nóng)，直角邊為盪和1的直角三角形斜邊反就是石，類似地可作&【答案與解析】作法：如圖所示（1）作直角邊為1（單位長度）的等腰直角AACB,使AB為斜邊;（2）作以AB為一條直角邊，另一直角邊為1的斜邊為少;（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形皿的，這樣斜邊心、嗎、螞、嗎【總結(jié)升華】(1)以上作法根據(jù)勾股定理均可證明是正確的；(2)取單位長度時(shí)可自定，一般習(xí)

6、慣用國際標(biāo)準(zhǔn)的單位如11?等我們作圖時(shí)只要取定一個(gè)長為單位即可.類型四、利用勾股定理解決實(shí)際問題1.(2016春?淄博期屮)有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過一個(gè)長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的対角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用勾股定理可求出門高.【答案與解析】解：設(shè)門高為x尺，則竹竿長為(x+1)尺，根據(jù)勾股定理可得：x2+42=(x+1)S即x2+16=x2+2x+1,解得:

7、x二7.5,竹竿高=7.5+1=8.5(尺)答：門高7.5尺，竹竿高&5尺.【總結(jié)升華】本題是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可把條件和問題放到直角三角形中，進(jìn)行解決.5、如圖，長方形紙片ABCD屮，已知AD=8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長為()A.3B.4C.5D.6【答案】D；【解析】解：設(shè)AB=心則AF=K,???ZABE折疊后的圖形為AAFE,???AABE^AAFE.BE=EF,EC=BC—BE=8—3=5,在RtAEFC中，由勾

8、股定理解得FC=4,在RtAABC?

9、>,八口=(*44),解得“6.【總結(jié)升華】折疊問題包括“全等形”、“勾股沱理”兩大問題，最后通過勾股定理求解DC