勾股定理(基礎(chǔ))知識(shí)講解.doc

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1、勾股定理（基礎(chǔ)）撰稿：吳婷婷責(zé)編：常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想；2．能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長(zhǎng)（只限于常用的數(shù)）；3．通過(guò)對(duì)勾股定理的探索解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】【高清課堂勾股定理知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么．要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地

2、結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的．（3）理解勾股定理的一些變式：，，．要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．　　　圖（1）中，所以．　　　　　　　方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．　　　　　　圖（2）中，所以．　　　　　　方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形．　　　　　　　　　　，所以．要點(diǎn)三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；3．與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．【典型例題】類型一、勾股定理的直接應(yīng)用1、在△A

3、BC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理來(lái)求未知邊長(zhǎng)．【答案與解析】解：（1）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，所以．所以＝13．（2）因?yàn)椤鰽BC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，所以．所以＝10．【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再?zèng)Q定用勾股原式還是變式．舉一反三：【變式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、．【答案】解：（1）∵∠C＝

4、90°，＝6，＝10，∴，∴＝8．（2）設(shè)，，∵∠C＝90°，＝32，∴．即．解得＝8．∴，．類型二、與勾股定理有關(guān)的證明2、如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中線，MN⊥AB，垂足為N，試說(shuō)明．【答案與解析】解：因?yàn)镸N⊥AB，所以，，所以．因?yàn)锳M是中線，所以MC＝MB．又因?yàn)椤螩＝90°，所以在Rt△AMC中，，所以．【總結(jié)升華】證明帶有平方的問(wèn)題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．若沒(méi)有直角三角形，常常通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理證明．舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，則AE2

5、-BE2等于（）　　A．AC2　　　?B．BD2?　　　C．BC2　　　?D．DE2【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得，選A．類型三、與勾股定理有關(guān)的線段長(zhǎng)【高清課堂勾股定理例3】3、如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長(zhǎng)為（）A．3B．4C．5D．6【答案】D；【解析】解：設(shè)AB＝，則AF＝，∵△ABE折疊后的圖形為△AFE，∴△ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，在Rt△ABC中，，解得．【總結(jié)升華】折疊問(wèn)題包括“全等

6、形”、“勾股定理”兩大問(wèn)題，最后通過(guò)勾股定理求解．類型四、與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算4、如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（　　）A．6B．5C．11D．16【思路點(diǎn)撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積．【答案】D【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠DEC，在△ABC和△CDE中，∵∴△ABC≌△CDE∴BC=DE∵∴∴b的面積為5+11=16，故選D．【總結(jié)升華】此題巧妙的運(yùn)用了勾股定理解

7、決了面積問(wèn)題，考查了對(duì)勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵．類型五、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題5、一圓形飯盒，底面半徑為8，高為12，若往里面放雙筷子（精細(xì)不計(jì)），那么筷子最長(zhǎng)不超過(guò)多少，可正好蓋上盒蓋？【答案與解析】解：如圖所示，因?yàn)轱埡械酌姘霃綖?，所以底面直徑DC長(zhǎng)為16．則在Rt△BCD中，，所以()．答：筷子最長(zhǎng)不超過(guò)20，可正好蓋上盒蓋．【總結(jié)升華】本題實(shí)質(zhì)是求飯盒中任意兩點(diǎn)間的最大距離，其最大距離是以飯盒兩底面的一對(duì)平行直徑和相應(yīng)的兩條高組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．舉一反三