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《極坐標與參數(shù)方程綜合運用題型一》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、極坐標與參數(shù)方程綜合運用題型(一)【題型分析】題型一圓上的點到直線距離的最值【例1】已知曲線C1的參數(shù)方程為曲線C2的極坐標方程為ρ=2cos（θ﹣），以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．（1）求曲線C2的直角坐標方程；（2）求曲線C2上的動點M到直線C1的距離的最大值．解：（Ⅰ）即ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，故C2的直角坐標方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）∵曲線C1的參數(shù)方程為，∴C1的直角坐標方程為，由（Ⅰ）知曲線C2是以（1，1）為圓心的圓，且圓心到直線C1的距離，∴動點M到曲線C1的距離的最大值為【變式實
2、踐1】1．已知曲線C1：，曲線：（t為參數(shù)）（I）化C1為直角坐標方程，化C2為普通方程；（II）若M為曲線C2與x軸的交點，N為曲線C1上一動點，求
3、MN
4、的最大值．解：（I）曲線C1的極坐標化為ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ所以曲線C1的直角坐標方程x2+y2﹣2y=0，因為曲線C2的參數(shù)方程是，消去參數(shù)t得曲線C2的普通方程4x+3y﹣8=0（II）因為曲線C2為直線，令y=0，得x=2，即M點的坐標為（2，0）曲線C1為圓，其圓心坐標為C1（0，1），半徑r=1，則13∴，
5、MN
6、的最大值為2．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處
7、，極軸與x軸的正半軸重合，直線的極坐標方程為：，曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）．（I）寫出直線的直角坐標方程；（Ⅱ）求曲線C上的點到直線的距離的最大值．解：（1）∵直線l的極坐標方程為：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一個以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓，圓心到直線的距離為：d=，∴曲線C上的點到直線l的距離的最大值=．3．已知在平面直角坐標系xOy中，直線的參數(shù)方程是（t是參數(shù)），以原點O為極點，Ox為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為．（1）求圓心C的直角坐標；（2）由直線
8、上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．解：（1）由圓C的極坐標方程ρ=2cos（θ+），化為，展開為ρ2=，化為x2+y2=．平方為=1，∴圓心為．（2）由直線l上的點向圓C引切線長==≥5，∴由直線l上的點向圓C引切線長的最小值為5．題型二利用三角函數(shù)求最值【例2】在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．(1)已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標為，判斷點P與直線l的位置關(guān)系；(2)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．13解：(1)把極坐標系下的
9、點P化為直角坐標得P(0,4)，∵P(0,4)滿足方程x－y＋4＝0，∴點P在直線l上．(2)因為點Q是曲線C上的點，故可設(shè)點Q的坐標為(cosα，sinα)，所以點Q到直線l的距離d＝＝(α∈R)則當cos＝－1時，d取得最小值.【變式實踐2】1．在直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為：(α為參數(shù))，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并取與直角坐標系相同的長度單位，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為：.(1)求曲線C2的直角坐標方程；(2)若P，Q分別是曲線C1和C2上的任意一點，求
10、PQ
11、的最小值．解：(1)∵ρ＝cosθ，∴x2＋y2＝x，即(x－)2＋y2＝.(2)設(shè)P(
12、2cosα，sinα)，易知C2(，0)，∴
13、PC2
14、＝＝＝ ，當cosα＝時，
15、PC2
16、取得最小值，
17、PC2
18、min＝，∴
19、PQ
20、min＝.2．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C1的極坐標方程為，直線l的極坐標方程為.(1)寫出曲線C1與直線l的直角坐標方程；(2)設(shè)Q為曲線C1上一動點，求Q點到直線距離的最小值．解：(1)C1：x2＋2y2＝2，l：y＋x＝4.(2)設(shè)Q(cosθ，sinθ)，則點Q到直線l的距離d＝＝≥＝，當且僅當θ＋＝2kπ＋(k∈Z)，即θ＝2kπ＋(k∈Z)時取等號．3．以平面直角坐標系的原點為極點，以x
21、軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(α是參數(shù))，直線l的極坐標方程為ρcos＝2.(1)求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；(2)設(shè)點P為曲線C上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．13解：(1)∵直線l的極坐標方程為ρcos＝2，∴ρ＝2，∴x－y＝2，即直線l的直角坐標方程為x－y－4＝0.由得＋＝1，即曲線C的普通方程為＋＝1.(2)設(shè)點P(2cosα，sinα)，則點P到直線l的距離d＝＝，其中tanφ＝.當cos(α＋φ)＝－1時，dmax＝，
