《淺談等角螺旋線》doc版

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1、淺談等角螺旋線作者：09公管丁劉澤隆王海玥闞萍摘要：本文主要對等角螺線（logarithmicspiral）進行了研究，建立了等角螺線的數(shù)學(xué)模型，探討了等角螺線的性質(zhì)、數(shù)學(xué)模型的特點以及在生活，尤其是在工業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：等角螺線黃金比應(yīng)用引言：等角螺線又叫對數(shù)螺線（logarithmicspiral）是由笛卡兒在1683年發(fā)現(xiàn)的。雅各布·伯努利(JakobBernoulli)后來重新研究之。他發(fā)現(xiàn)了等角螺線的許多特性，如等角螺線經(jīng)過各種適當(dāng)?shù)淖儞Q之后仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死后將之刻在自己的墓碑上，并附詞“縱使改變，依然故我”(eademmutata

2、resurgo)。可惜雕刻師誤將阿基米德螺線刻了上去。等角螺線用指數(shù)形式表達：ρ=αe^(kφ)其中，α和k為常數(shù)，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數(shù)的底。為了討論方便，我們把e或由e經(jīng)過一定變換和復(fù)合的形式定義為“自然律”。等角螺線在自然界規(guī)律和工業(yè)生產(chǎn)中都有著廣泛的應(yīng)用，如抽水機的渦輪葉片；鸚鵡螺外殼的等角螺線形圖案。已有的文獻和成果：文獻《螺線》等。一、模型的建立(1)螺線特別是美學(xué)意義可以用指數(shù)的形式來表達：ρ=αe^(kφ)其中，α和k為常數(shù)，φ是極角（polarangle），ρ是極徑?（polarRadius），e是自然對數(shù)（?naturallogarithm）的底。為了討

3、論方便，我們把e或由e經(jīng)過一定變換和復(fù)合的形式定義為“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值為2.71828……，是一個無限不循環(huán)小數(shù)。(2)如何得到一條等角螺線-----等角螺線與黃金比（goldenratio）首先畫一個黃金矩形ABCD，即一個長比寬為φ的矩形，。如果拿掉最大的正方形ABEF，我們能得到一個新的小黃金矩形FECD。（證明略）數(shù)學(xué)提供給我們的生活經(jīng)驗以是，一旦我們發(fā)現(xiàn)一個思想，我們往往可以通過將這個細想推到極端來發(fā)展出新的洞見。我們可以從新得到的黃金矩形FECD中再拿掉最大的正方形FGHD，并繼續(xù)這個過程，如此產(chǎn)生出一個不斷縮小的黃金矩形的無窮集合。連接其中的B

4、、F、H、I、J、K等點，我們就可以(粗略地)等到一條等角螺線（logarithmicspiral）了。參考資料《數(shù)學(xué)爵士樂》【美】愛?德華伯格邁克?爾斯塔伯德著二、模型的性質(zhì)(1)等角螺線的臂的距離以幾何級數(shù)（geometricprogression）遞增。(2)設(shè)L為穿過原點的任意直線，則L與等角螺線的相交的角永遠相等（故其名），而此值為cot-1lnb。從螺線的心向螺線上任一點引一條線段，該線段與螺線上該點的切線間的夾角處處相等（圖片來自www.blioon.com）(3)設(shè)C為以原點為圓心的任意圓，則C與等角螺線的相交的角永遠相等，而此值為tan-1lnb，名為“傾斜度”(4

5、)等角螺線是自我相似的；這即是說，等角螺線經(jīng)放大后可與原圖完全相同。（以上來自維基百科）(5)等角螺線的漸屈線（asymptoticcurve）和垂足線都是等角螺線。(6)從原點到等角螺線的任意點上的長度有限，但由那點出發(fā)沿等角螺線走到原點卻需繞原點轉(zhuǎn)無限次。這是由Torricelli發(fā)現(xiàn)的。（7）等角螺線的漸屈線是同樣的等價螺線，所以也是它關(guān)于原點的反演曲線（inversionalcurve）。如果把光源放在原點，那么它由反射和折射得到的焦散曲線也是同樣的等角螺線。（8）如果等角螺線在一條直線上滾動，那么該螺線的成為極的原點的極是另一條直線。曲線上從極（即O點）到X點的長等于XT，

6、這里T是極的出發(fā)點，∠TOX是直角。（見下圖來自《神奇而有趣的幾何》【英】戴維?韋爾斯著余應(yīng)龍譯）XT一、模型的應(yīng)用1、自然界中的對數(shù)螺線（1）鸚鵡螺的外殼像等角螺線(2)旋渦星系的旋臂像等角螺線(3)蝸牛的外殼像等角螺線(4)低氣壓的外觀像等角螺線（5）蜘蛛織的網(wǎng)成等角螺線：蜘蛛在結(jié)網(wǎng)的過程中，腿發(fā)揮了關(guān)鍵的作用。它們先用腿從抽絲器中抽絲，固定到樹干上，把整個輪廓勾勒出來。之后，沿著已經(jīng)建好的輪廓向中心爬，再在合適的地方加上幾根幅線固定，為了保持平衡，再在對稱的地方加上相應(yīng)的幅線。這樣，之中就用幅線把圓周分成了幾部分，相鄰幅線間的圓周角大體相同。最后，蜘蛛用絲在半徑（幅線）上，從外

7、圈盤旋著走向中心，同時在半徑上安上最后成網(wǎng)的螺旋線。這根螺旋線，形如等角螺線的圖像：越接近中心，每周的間距就越密，螺線上的任意一點和中心的連線與螺線上這點的切線所形成的角是一個定角。（摘自：好父母教育咨詢網(wǎng)）2、工業(yè)中的對數(shù)螺線（1）在工業(yè)生產(chǎn)中，把抽水機的渦輪葉片的曲面作成對數(shù)——螺線的形狀，抽水就均勻；（2）在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，把軋刀的刀口彎曲成對數(shù)螺線的形狀，它就會按特定的角度來切割草料，又快又好；（3）工業(yè)生產(chǎn)中使用的一種用于磚瓦輪窯焙燒或鍋爐助燃的離心