等角圓錐螺旋線的形成原理及投影圖的繪制方法

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1、第卷第“期合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版竺二止二二二二乙‘二二二二二二二等角圓錐螺旋線的形成原理及投影圖的繪制方法夏鼎立提要本文用微分兒何理論研究等角圓錐螺旋線的形成原理及表達(dá)式,用正投影原理、圖,,研究它的圖示解方法并得出結(jié)論等角圓錐螺旋線的水平投影是對(duì)數(shù)螺線其方程為“產(chǎn)’。,即可用兒何作圖方法把它的三面本法只需計(jì)算曲線止的一個(gè)點(diǎn)·、、’。,投影繪制出來(lái)此方法簡(jiǎn)單方便住確書它用于工程設(shè)計(jì)上亦能滿足設(shè)計(jì)的。精度要求,,幾何關(guān)鍵詞等角圓錐螺旋線定傾曲線對(duì)數(shù)螺線水平投影作圖前言。,即螺距為常數(shù)由于在畫法幾何學(xué)及工程制圖中所研究的圓錐螺旋線是變角和等距的,。,技

2、術(shù)的進(jìn)這種螺旋線與錐面素線的夾角是變化的因此它不是定傾曲線隨著科學(xué)的發(fā)展。但是人們對(duì)它的認(rèn)識(shí)尚屬開(kāi)步一種新的等角圓錐螺旋線已開(kāi)始應(yīng)用于機(jī)械與電信工程上。,、圖解理論在畫法幾何學(xué)及工程制圖中也未提及筆者用微分始有關(guān)它的形成原理和圖示、。幾何學(xué)與畫法幾何的投影理論對(duì)等角圓螺旋線的形成條件與圖示圖解方法作初步研究等角圓錐螺旋線的形成原理及數(shù)學(xué)表達(dá)式。,凡曲率與撓率之比為常數(shù)的曲線稱為一般螺旋線圓柱螺旋線就具由微分幾何學(xué)知道·,,。有這樣的性質(zhì),它與柱面素線的夾角為定值因此這類曲線又稱為定傾曲線這種特性在圓錐面上形成的螺旋線也同樣成立。,設(shè)正圓錐面上有動(dòng)點(diǎn)對(duì),

3、、它由。運(yùn)動(dòng)到盯,時(shí),在錐面上轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角當(dāng)動(dòng)點(diǎn)由,轉(zhuǎn),,,也相應(yīng)增大如圖動(dòng)到時(shí)在錐面上變化一個(gè)角則點(diǎn)到原點(diǎn)錐頂?shù)氖笍街蕻a(chǎn),、曰、、四尹,,二,,“,此時(shí)胚直線方向也就是的切。當(dāng)下一,,則所示。。。。,它與圓雍面素線的夾角就代表曲線該點(diǎn)的傾角設(shè)圓錐面上曲線對(duì)在任何一線方向點(diǎn)處,它與錐面素線的夾角為定值,即可推導(dǎo)出此曲線的表達(dá)式。一一收稿日期合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版里年第卷‘戶婦、,。。二,,二由圖可知從直角三角形中得到一以二瀏拼一沙一︸經(jīng)整理得到以二丁將式兩邊同時(shí)積分·,·下之窄二丁忍將式由對(duì)數(shù)函數(shù)換成指數(shù)函數(shù)得二。。,。其中為積分常數(shù)。,,當(dāng)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)

4、到時(shí)在圓錐面上轉(zhuǎn)過(guò)角對(duì)應(yīng)于圓錐軸線轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角見(jiàn),。勺在,圖在扇形上有錐面上如將它展成平面也是一個(gè)扇護(hù)戶,、,下,一,形則有二下所以有或‘。二二一一。。,,?從八可知丫一,其中角是了生石刃。圓錐的錐頂半角下將代入式得丫,丫、、公式中除為參變量之外其余均。,為常數(shù)并令扭丫則式簡(jiǎn)化成’,公式為等角圓錐螺旋線的矢徑方程萬(wàn)戶價(jià)把,它化為參數(shù)方程則有二二口’了叮萬(wàn)“二,?！髦６救f(wàn),,將式中的常量簡(jiǎn)化并令”丫丫,則有二口了‘憶、,夕刀,’主了、產(chǎn)、之二己第期夏鼎立等角圓錐螺旋線的形成原理及投影圖的繪制方法。公式是等角圓錐螺旋線的參數(shù)方程,,。,由公式可知當(dāng)時(shí)

5、即等回錐螺旋線的起點(diǎn)不在座標(biāo)原點(diǎn)即不在錐,頂曲線的起始點(diǎn)距錐頂為,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在錐面上轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)切叨碑戶二,它在錐面上前進(jìn)之距導(dǎo)程””,二尸當(dāng)萬(wàn)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)兩周時(shí)等二角圓錐螺旋的螺距為產(chǎn)氣功卜奮粉執(zhí)臀,很顯然它的螺距是變數(shù)而且螺距的磕增加不是簡(jiǎn)單地成正比例增加,而是。成幾何級(jí)數(shù)增加由于等角圓錐螺旋線的螺距不是常數(shù),因此它又稱為變螺距定傾圓錐螺旋線。由圖看出一,凡。曲線上每點(diǎn)的螺距均是變化的等角圓錐螺旋線的螺距隨轉(zhuǎn)角增大而增加,因此動(dòng)點(diǎn)每轉(zhuǎn)一圈的螺線介。長(zhǎng)也不相同點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈的孤長(zhǎng)為十‘“‘一二”洲’一式中夕?！笔繄D之二,’、、二。二,二。、分別是式中對(duì)的微分將它們分別

6、代入式中,并簡(jiǎn)化得一產(chǎn)一以等角圓錐螺旋線的投影特性了在水平面上的投影,二。,二。,我們知道空間曲線在面上的投影其座標(biāo)為則公式中的因此等角圓錐螺旋線的水平投影的參數(shù)方程為劣夕、尤把式平方相加簡(jiǎn)化成極座標(biāo)方程得”’。公式表示一條對(duì)數(shù)螺旋線方程由此得出結(jié)論等角回錐螺旋線的水平投影是對(duì)。數(shù)螺線如圖所示合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版年第卷、在正面上的投影一正面投影的夕座標(biāo)為則式簡(jiǎn)化成二解式之‘二,將式取對(duì)數(shù)得出一乃將式代入劣之言,之一乙,式中之一】‘一一了。,公式表示一條阻尼曲線見(jiàn)圖但它的起點(diǎn)不在座標(biāo)原點(diǎn)其起點(diǎn)座標(biāo)分別為二兒之二在側(cè)平面上的投影,因此公式簡(jiǎn)化成為在面

7、上的投影川亡了之乙,用式的方法解出并代入式夕中得,兒‘之,。,。。公式代表一條阻尼曲線但它的起點(diǎn)不在座標(biāo)原點(diǎn)而是在軸上且距點(diǎn)為如。圖所示等角圓錐螺旋線投影圖的繪制方法,「、、。由圖可知等角圓錐螺旋線在萬(wàn)面上的投影均為三種不同的超越曲線這、。,給它的圖示圖解帶來(lái)極大的不便和困難唯一可行的方法就是描點(diǎn)法即根據(jù)等角圓錐螺、、,、、旋線的參數(shù)方程或者方程代入不同的值求出若干,。,。值再繪制出它的投影圖很顯然這種方法非常費(fèi)時(shí)費(fèi)事極為煩瑣尤其指數(shù)函數(shù)的運(yùn),。。算很繁雜容易出錯(cuò)所以在工程上用描點(diǎn)法繪制等角圓錐螺旋線的投影圖是不可行的本文介紹兩種方法。方法根據(jù)以上分析

8、,等角圓錐螺旋線的水平投影是對(duì)數(shù)螺線,如能把它的圖形繪制出來(lái),再,和,。,用錐面上取點(diǎn)的方法投