數(shù)學模型在經(jīng)濟理論中的應用new

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1、第5卷第1期太原師范學院學報(自然科學版)Vol.5No.12006年3月JOURNALOFTAIYUANNORMALUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)Mar.2006數(shù)學模型在經(jīng)濟理論中的應用112易紅霞何先平楊明林(1.長江大學信息與數(shù)學學院,湖北荊州434023;2.長江大學地球科學學院,湖北荊州434023)〔摘要〕文章以數(shù)學模型和經(jīng)濟增長模型為基礎,給出了國民收入的數(shù)學模型,并預測到2043年我國人均國民生產(chǎn)總值將達到2998.36美元.〔關鍵詞〕數(shù)學模型;微分方程模型;經(jīng)濟增長〔文章編號〕1672-2027(2006)01-0019-03〔中圖分

2、類號〕O29〔文獻標識碼〕A0引言[1]隨著科學技術的迅速發(fā)展,數(shù)學模型越來越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代化人的生產(chǎn)、工作和社會活動中.電氣工程師必須建立所要控制的生產(chǎn)過程的數(shù)學模型,用這個模型來對控制裝置做出相應的設計和計算,才能實行有效的過程控制.氣象工作者為了得到準確的天氣預報,一刻也離不開根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風速等資料建立的數(shù)學模型.生理醫(yī)學專家有了藥物濃度在人體內隨時間和空間變化的數(shù)學模型,就可以分析藥物的療效,有效地指導臨床用藥.數(shù)學模型已經(jīng)滲透到各個領域中,數(shù)學模型在經(jīng)濟中的應用已經(jīng)成為經(jīng)濟領域中最核心的問題,也一直是人們所關注的重點.1國民收入的微分方程模型[2]國民收

3、入的主要來源是生產(chǎn),國民收入主要用于以下三個方面:消費資金、投入到生產(chǎn)的資金積累及公共設施的開支.設t時刻國民收入水平、消費水平分別為Y(t)、C(t),t時刻的投入再生產(chǎn)的資金為I(t),G表示投入于公共設施的資金,這里看作常數(shù).設國民消費水平與國家生產(chǎn)水平成正比,比例系數(shù)為k,即C=kY(k為消費系數(shù),那么s=1-k則為積累系數(shù)),那么t時刻的需求水平D(t)可表示為:D(t)=kY+I+G(1)設生產(chǎn)水平的改變與需求水平的差成比例,即dY=l(D-Y)(l為比例系數(shù)且l>0).(2)dt設投入再生產(chǎn)水平的變化率與國民收入水平的變化率和現(xiàn)有的投資水平的差成正比例,即dIdY=m(a-I

4、)(m>0,a>0,且m,a為常數(shù)).(3)dtdtdY由(1)、(2)式可知+lsY=l(I+G)(4)dt2dYdYdI上式兩邊對t求導得:2+ls+=l(5)dtdtdt2dYdY計算整理后有2+(ls+m-lma)+slmY=lmG(6)dtdt引入記號A=ls+m-lma,B=mls,上式化為:X收稿日期:2006-01-20作者簡介:易紅霞(1980-),女,湖北潛江人,長江大學信息與數(shù)學學院在讀研究生,研究方向為概率與數(shù)理統(tǒng)計研究.X20太原師范學院學報(自然科學版)第5卷2dYdY2+A+BY=lmG(7)dtdt上式是一個關于國民收入的二階常系數(shù)微分方程,其系數(shù)A、B、l

5、、G及Y(0),I(0)均可由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到,其中Y′(0)可將Y(0)及I(0)帶入(4)式得到,故此方程有解.2模型的分析(7)式這個關于國民收入的二階常系數(shù)微分方程的特征根可以求解出來,其兩個特征根分別為:22-A+A-4B-A-A-4BK1=,K2=22G驗算可知為(7)式的一個特解,下列對(7)式的通解討論.s2KtKtG1)當A>4B時,(7)式的通解為Y(t)=Ae1+Be2+,若K1、K2中至少有一個為正,則limY(t)=+∞,st→+∞G即國民收入隨時間的推移而增加,K1、K2均為負時,則limY(t)=,即國民收入隨時間的推移而趨于常數(shù)t→+∞sG,也就是國民收入穩(wěn)定.

6、s222)當A=4B時,即有K1=K2=K則與當A>4B時的情況相同.即當K>0時,國民收入隨著時間的推移而G增加,當K<0時,國民收入隨著時間的推移而趨于常數(shù),也就是國民收入最后穩(wěn)定.s22A4B-ALt3)當A≤4B時,此時K1=L+vi,K2=L-vi,其中L=-,v=那么(7)的通解為Y(t)=hesin22GLt(vt+w)+,其中h,w為常數(shù),此時國民收入Y(t)將隨著時間的推移而出現(xiàn)振蕩,當A>0時,limhe=0,st→+∞Lt即振蕩的幅度不斷下降,則國民收入將趨于一個常數(shù),當A<0時,limhe=+∞,表示振蕩的幅度隨著時間t→+∞的推移而增大,根據(jù)差分方程的穩(wěn)定性理論可

7、知,只有當特征根的模Q<1時,差分方程的解才是穩(wěn)定的,有穩(wěn)定解的模型則可以用來預測國民收入的增長趨勢.而對于這個具體的模型則只要B<1,就可以利用這個模型進行預測.3模型的應用通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)(統(tǒng)計數(shù)據(jù)來自2003年中國統(tǒng)計年鑒),可以得到如下數(shù)據(jù)s=0.25,A=0.8,m=1,l=2,Y(0)=138,I(0)=556.24,G=65.22.把1987年看作是第0年,所有的資金全部兌換成人均美元,計算s、A、[3]m、l