2011年中考沖刺數(shù)學(xué)專題6——綜合型問(wèn)題

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1、2011中考沖刺數(shù)學(xué)專題6——綜合型問(wèn)題【備考點(diǎn)睛】綜合型問(wèn)題是在相對(duì)新穎的數(shù)學(xué)情境中綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法、知識(shí)以解決問(wèn)題，涉及的主要知識(shí)點(diǎn)有代數(shù)中的方程、函數(shù)、不等式，幾何中的全等三角形、相似三角形、解直角三角形、四邊形和圓；涉及的主要思想方法有轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等；要求學(xué)生具有融會(huì)貫通遷移整合知識(shí)的能力、分析轉(zhuǎn)化與歸納探索的能力、在新情境下解決新問(wèn)題的創(chuàng)新能力．學(xué)生做好以下兩項(xiàng)工作，解決綜合型問(wèn)題的水平將有較大提高：①全面掌握初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、方法、技能，熟練掌握重點(diǎn)、熱點(diǎn)知識(shí)及重要

2、的數(shù)學(xué)思想、方法，注重歸納整理形成整體，防止知識(shí)出現(xiàn)斷鏈。②適度進(jìn)行綜合性訓(xùn)練并善于總結(jié)解題體會(huì)，對(duì)知識(shí)形成發(fā)散、遷移及應(yīng)用能力，提高解題技能，體會(huì)數(shù)學(xué)思想與方法的運(yùn)用，形成解題策略，如運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決幾何證明問(wèn)題，運(yùn)用方程思想解決幾何計(jì)算問(wèn)題，借助幾何直觀去分析、推理等．【經(jīng)典例題】類型一、以幾何圖形為背景的綜合題例題1（2010四川攀枝花）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=2,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)P作直線PQ∥BD,交CD邊于Q點(diǎn)，再把△PQC沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)。設(shè)CP

3、=x,△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y。（1）求∠CPQ的度數(shù)。（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的邊AB上？（3）當(dāng)點(diǎn)R在矩形ABCD外部時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。并求此時(shí)函數(shù)值y的取值范圍。解答：（1）∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC又AB=6,AD=2,∠C=90°∴CD=6,BC=2∴tan∠CBD＝=∴∠CBD=60°∵PQ∥BD∴∠CPQ=∠CBD=60°（2）如題圖（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△RPQ≌△CPQ∴∠RPQ=∠CPQ,RP=CP.由（1）知∠RPQ=∠CPQ=60°∴∠RPB=

4、60°,∴RP=2BP∵CP=x∴RP=x,PB=2-x.∴在△RPB中，有2（2-x）=x∴x=（3）當(dāng)R點(diǎn)在矩形ABCD的外部時(shí)（如題圖），﹤x﹤2在Rt△PBF中，由（2）知PF=2BP=2（2-x）∴RP=CP=x∴ER=RF-PF=3x-4在Rt△ERF中∵∠EFR=∠PFB=30°∴ER=RF·tan30°=x-4∴Ｓ△ERF=ER×FR=(x-4)(3x-4)=-12x+8又Ｓ△PQR=Ｓ△CPQ=x×x=∵y=Ｓ△PQR-Ｓ△ERF∴當(dāng)﹤x﹤2時(shí)，函數(shù)的解析式為y=-（-12x+8）=-+12x-8（﹤x﹤2）∵

5、y=-+12x-8=-(x-2)+4∴當(dāng)﹤x﹤2時(shí)，y隨x的增大而增大∴函數(shù)值y的取值范圍是﹤y﹤4例題2（2010山東東營(yíng)）如圖，在銳角三角形ABC中，，△ABC的面積為48，D，E分別是邊AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與，重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形DEFG.（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；BADEFGCMN（2）設(shè)DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值.解答：（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC

6、上時(shí)，如圖（1），過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M.∵S△ABC=48，BC=12，∴AM=8.∵DE∥BC，△ADE∽△ABC,∴，BADEFGC而AN=AM－MN=AM－DE，∴.解之得.∴當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為4.8.（2）分兩種情況：①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，如圖（2），△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，∵DE=x，∴，此時(shí)x的范圍是≤4.8②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，如圖（2），設(shè)DG與BC交于點(diǎn)Q，EF與BC交

7、于點(diǎn)P，MBADEFGCNPQ△ABC的高AM交DE于N，∵DE=x，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,分即，而AN=AM－MN=AM－EP,∴，解得.所以,即.由題意，x>4.8，x<12,所以.因此△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為(023.04，所以△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24.例題3（2010浙江義烏）如圖1，已知∠

8、ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F.（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時(shí)，∠EBF=　　°，猜想∠QFC=°；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射