全國高考函數(shù)大題

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1、21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（Ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）.求a的最大值.解:（Ⅰ）函數(shù)的定義域是，設(shè)則令則當(dāng)時，在（-1，0）上為增函數(shù)，當(dāng)x＞0時，在上為減函數(shù).所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).于是當(dāng)時，當(dāng)x＞0時，所以，當(dāng)時，在（-1，0）上為增函數(shù).當(dāng)x＞0時，在上為減函數(shù).故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）不等式等價于不等式由知，設(shè)則（構(gòu)造函數(shù)）由（Ⅰ）知，即所以于是G(x)在上為減函數(shù).故函數(shù)G（x）在上的最小值為所以a的

2、最大值為21．（本小題滿分12分）矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。已知函數(shù)，其中，為常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）當(dāng)時，證明：對任意的正整數(shù)，當(dāng)時，有．解：21．（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，所以．（分類討論）（1）當(dāng)時，由得，，此時．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時，恒成立，所以無極值．綜上所述，時，當(dāng)時，在處取得極小值，極小值為．當(dāng)時，無極值．（Ⅱ）證法一：因為，所以．當(dāng)為偶數(shù)時，（分類討論）令，則（）．所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，因此恒成立，所以成立．當(dāng)為奇數(shù)時，要證，由于，所以只需證，（常用的不等式）令，則（），所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，

3、又，所以當(dāng)時，恒有，即命題成立．綜上所述，結(jié)論成立．證法二：當(dāng)時，．當(dāng)時，對任意的正整數(shù)，恒有，故只需證明．（常用的不等式）令，，則，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，，即成立．故當(dāng)時，有．即．20（07湖北）（本小題滿分13分）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）20本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同，，由題意，（方程的思想）即由得：，或（舍去）即有（）令，則于是當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，故在為增函數(shù)

4、，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（Ⅱ）設(shè)，（構(gòu)造函數(shù)）則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當(dāng)時，有，即當(dāng)時，22（本小題滿分14分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：22　本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力　滿分14分聞創(chuàng)溝燴鐺險愛氌譴凈。解：（Ⅰ）由得，所以由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ）由可知是偶函數(shù)于是對任意成立

5、等價于對任意成立由得（分類討論）①當(dāng)時，此時在上單調(diào)遞增故，符合題意②當(dāng)時，當(dāng)變化時的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，，又綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是（Ⅲ），，（基本不等式），（賦值法，迭乘法）由此得，故（22）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）證明,其中為k為整數(shù)；（Ⅱ）設(shè)為的一個極值點(diǎn)，證明；（Ⅲ）設(shè)在(0,+∞)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列,證明（22）解：（Ⅰ）證明：由函數(shù)的定義，對任意整數(shù)，有（驗證法）．（Ⅱ）證明：函數(shù)在定義域上可導(dǎo)，①令，得．顯然，對于滿足上述方程的有，上述方程化簡為．此方程一定有解．的極值點(diǎn)

6、一定滿足．由，得．因此，．(先用分析法)（Ⅲ）證明：設(shè)是的任意正實數(shù)根，即，則存在一個非負(fù)整數(shù)，使，即在第二或第四象限內(nèi)．（數(shù)形結(jié)合）由①式，在第二或第四象限中的符號可列表如下：的符號為奇數(shù)－0＋為偶數(shù)＋0－所以滿足的正根都為的極值點(diǎn)．由題設(shè)條件，，，…，，…為方程的全部正實數(shù)根且滿足，那么對于，．②由于，，則，由于，由②式知．由此可知必在第二象限，即．綜上，．22．（本題滿分15分）已知函數(shù)在上的最小值為，，是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.（1）求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是定值;（2）若數(shù)列的通項公式為,求數(shù)列的前m項和；（3）設(shè)數(shù)列滿足:，設(shè)，若（2

7、）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)n,恒成立,試求m的最大值.22．(本題滿分15分)（分類討論）解:（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又的最小值為，∴，得t=1;當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，又的最小值為，∴，得t=2（舍）;當(dāng)t=0時，（舍），∴t=1,.∵∴，∴，即p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值。（2）由(1)可知,,所以,即由,…①得…②（倒序相加法）由①＋②,得∴（3）∵,……③∴對任意的.……④由③、④,得即.（裂項相消法）∴.∵∴數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.∴關(guān)于n遞增.當(dāng),且時,.∵∴∴即∴∴m的最大值為6.BNFANCNOXY重慶卷如圖，對每個正整數(shù)，是拋物線上的點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線交

8、拋物線于另一點(diǎn)．（Ⅰ）試證：；（Ⅱ）取