直線直線方程

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1、16.1直線與直線方程【考綱要求】1.理解直線的傾斜角，掌握過兩點的直線斜率的計算公式，會求直線的斜率.2.掌握直線方程的五種形式，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)所給條件確定直線方程.3.掌握判斷兩直線位置關(guān)系的方法，掌握點到直線的距離，兩平行直線的距離.4.與導(dǎo)數(shù)結(jié)合求直線的斜率及范圍.【命題規(guī)律】直線的概念與直線方程是解析幾何的基礎(chǔ)，在高考中與直線相關(guān)的考題較多，但單獨命題不多，主要以填空為主，考查直線的斜率及范圍，直線的傾斜角及范圍，直線的方程與兩直線的平行與垂直的條件，也常常與向量結(jié)合，在知

2、識交匯點命題，題目一般比較容易.【知識回顧】1.直線的傾斜角（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，把軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為直線的傾斜角.規(guī)定與軸平行或重合的直線的傾斜角為.（2）一條直線有且只有一個傾斜角，傾斜角的取值范圍是或，（3）三個前提：①直線向上方向，②與軸正向，③所成的最小正角2.直線的斜率（1）給定兩點，如果，那么經(jīng)邊P、Q兩點的直線的斜率公式為：當(dāng)時，直線的斜率不存在，（2）當(dāng)直線的傾斜角時（即直線與軸不垂直），斜率與傾斜

3、角的關(guān)系：當(dāng)直線的傾斜角時（即直線與軸垂直），直線的斜率不存在.注：①所有的直線都有傾斜角，但不一定都有斜率；②當(dāng)時，或；當(dāng)時，斜率不存在.③在研究直線問題時，一般分為兩類：一類是直線的斜率不存在問題，即直線垂直于軸；另一類是直線的斜率存在問題。所以有時需要分類討論。3.直線的方程（1）直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式不含與軸垂直的直線斜截式不含與軸垂直的直線兩點式不含與軸垂直的直線和與軸垂直的直線截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式所有直線都適用（2）直線方程之間的轉(zhuǎn)換直線方程任一形式

4、都可化為一般式，而直線方程的一般式在一定條件下才能化為其它形式。①化為斜截式：；5/5②化為截距式：；③化為點斜式：.4.兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程相交垂直平行且重合且5.距離公式（1）兩點間距離：已知兩點，則.（2）點到直線的距離：.（直線應(yīng)化為一般式）（3）兩平行直線與的距離：（系數(shù)對應(yīng)相等）（4）兩平行直線與的距離：（斜率應(yīng)相等）（5）直線上兩點間距離：設(shè)直線上兩點之間的距離：（即弦長公式）6.對稱問題（1）中心對稱：若點及關(guān)于對稱，則由中點坐標(biāo)公式得，則點關(guān)于點的對稱點為（2）點關(guān)于直

5、線對稱若點關(guān)于直線的對稱點應(yīng)滿足5/5【典例分析】題型一、直線的傾斜角和斜率例1.直線的傾斜角的取值范圍是.分析：先求斜率的取值范圍，再求傾斜角的取值范圍。解：因為直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則.又因為，即所以例2.直線的傾斜角的取值范圍是.解：設(shè)傾斜角為，則.,.題型二、求直線的方程例3.已知直線過點，且傾斜角的正弦值是，求直線的方程解：設(shè)直線l的傾斜角為,則，的方程為，即或。例4.直線經(jīng)過點，且點到的距離等于1，求直線的方程；解：(1)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，則直線的點斜式方程為,

6、即.由題意，得，解得即所求直線的方程是.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程是,滿足題意.綜上，所求直線l的方程是或.題型三、與直線方程有關(guān)的最值問題例5.直線過點M(2,1),且分別與軸交于A、B兩點，為原點.求當(dāng)△AOB面積最小時，求直線的方程.解：方法一:如圖所示，直線如果通過一、二、三或一、三、四象限時，面積不存在最小值（最小值越來越趨于0）.因此只考慮直線與軸正方向相交的情況，這時斜率必為負(fù)值.設(shè)直線的方程為y-1=k(x-2)(k＜0),則有與，5/5當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立。故直線的方

7、程為，即。方法二：設(shè)過的直線為,則，由基本不等式得,故,當(dāng)且即時，等號成立，故直線方程為,即x+2y-4=0.例6.已知實數(shù)滿足，試求：的最大值與最小值。解：如圖，由的幾何意義可知，它表示定點與曲線段AB上任一點連線的斜率k,由圖可知：，由已知可得:A(1,1),B(-1,5),，即的最大值為8，最小值為題型四、兩條直線位置關(guān)系的判定和應(yīng)用例7.已知直線和直線（1）試判斷與是否平行；（2）當(dāng)時，求的值；分析:可以把直線化成斜截式，運用斜率或截距的數(shù)量關(guān)系來判斷求解，但由于直線的斜率可能不存在，就必須進

8、行分類討論；也可以運用一般式方程中的系數(shù)關(guān)系來判斷或求解，這樣可以避免討論.解：（1）方法一：當(dāng)時，，，不平行于當(dāng)時，，，不平行于當(dāng)且時，兩直線化為由綜上可知，當(dāng)時；否則與不平行.方法二：由；由5/5故當(dāng)時，；否則與不平行.（2）方法一：當(dāng)時,,所以與不垂直，故不成立;當(dāng)時，由方法二：由題型五、交點及直線系問題例8.求經(jīng)過直線和的交點且垂直于直線的直線的方程。解:方法一：由，.的斜率，∴的斜率，∴.方法二：由，可設(shè).∵的交點可以求得為.∴5×(-1)+3