3、xt，由于阻尼作用，在第t+1個擺動周期中，其最大振幅為其中?為阻尼系數(shù)。若再受到外界干擾εt的影響，則實際上的最大振幅為易見,此例即為一個一階自回歸模型AR(1)。6一般的,在AR(p)模型中的系數(shù)多項式稱為AR(p)模型的自回歸系數(shù)多項式。若α(u)=0的根都在單位圓外時，稱此為平穩(wěn)的AR(p)模型，否則為非平穩(wěn)的AR(p)模型，或廣義的AR(p)模型。注：條件α(u)=0的根都在單位圓外，稱為平穩(wěn)性條件。7例1.2如果時間序列xt滿足試問此xt是否為平穩(wěn)的序列模型。解：因為其自回歸系數(shù)多項式為易見,α(u)=0的根為3/2>1,所以這是平穩(wěn)的AR(1)
4、模型。8例1.3如果時間序列xt滿足試問此xt是否為平穩(wěn)的序列模型。解：由于其自回歸系數(shù)多項式為的根為u1=2>1與u2=1/2<1,故知其根不都在單位圓外，所以這是非平穩(wěn)的AR(2)序列模型。9自回歸模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部的回歸關(guān)系，故稱為自回歸，與通常的線性回歸性質(zhì)是不一樣的。10二、中心化AR(p)模型設(shè){xt}為平穩(wěn)序列，且有則對上式兩端同取數(shù)學(xué)期望，即得由于{xt}為平穩(wěn)序列，故11即得則可得一個均值為0的新序列：此時wt稱為xt的平穩(wěn)中心化序列。12以后一般均討論中心化的平穩(wěn)模型或序列:13三、平穩(wěn)模型的平穩(wěn)解設(shè)平穩(wěn)AR(p)模型為式中{εt}為白噪
5、聲序列，系數(shù)α1，α2，…，αp滿足平穩(wěn)條件：系數(shù)多項式α(u)=0的根都在單位圓外。141后移算子若算子B滿足等式:則稱B為后移算子,即B作用xt后使其轉(zhuǎn)化為xt-1類似的于是,AR(p)模型可以表示為15即得一差分方程:其中α(B)為后移算子多項式,即稱為自回歸算子:16易見，濾波器成為一個對時間序列進行變換的實體，變換前的序列稱為輸入，經(jīng)濾波器變換的得到的序列稱為輸出。自回歸濾波器xtεt差分方程式可用框圖表示:設(shè)想有一個濾波器，輸入的是某種平穩(wěn)序列，而輸出的則是白噪聲序列，即172AR(p)序列的平穩(wěn)域與允許域定義2.2AR(p)序列的平穩(wěn)域為其系數(shù)
6、取值的集合：其允許域為其自相關(guān)函數(shù)的前p個值的集合:其中矩陣Γp與Rp,向量α、b與d分別為：1819例如一階自回歸模型AR(1)：20注:實際上由平穩(wěn)AR(p)模型:21再對兩端取數(shù)學(xué)期望,并由性質(zhì):22類似的,在平穩(wěn)AR(p)模型兩端分別同乘以23再對兩端取數(shù)學(xué)期望,并由上述性質(zhì)可得:24其次,由于自相關(guān)系數(shù)等于:25263AR(1)序列平穩(wěn)解與自相關(guān)函數(shù)進行反復(fù)的迭代運算，則對任何自然數(shù)n，有27于是對于平穩(wěn)時間序列，如果有
7、α
8、<1，則28即它是滿足AR(1)模型平穩(wěn)解.若用算子表示式：稱為線性轉(zhuǎn)移函數(shù)。29注意到麥克勞林展開式可知線性轉(zhuǎn)移函數(shù)是一階
9、自回歸算子的逆算子。故當k>0時,其自相關(guān)函數(shù)：3031類似的,當k<0時,其自相關(guān)函數(shù)為32特別地，AR(1)序列的方差函數(shù)為其自相關(guān)系數(shù)為因為
10、α
11、<1，故相關(guān)系數(shù)依指數(shù)規(guī)律向零衰減。33例2.1試求AR(1)序列的平穩(wěn)解與自相關(guān)函數(shù)。的系數(shù)多項式為故得其平穩(wěn)解為而自相關(guān)系數(shù)為344.AR(2)序列的平穩(wěn)解與自相關(guān)函數(shù)因此,求AR(2)模型的平穩(wěn)解,即化為求線性轉(zhuǎn)移函數(shù)的權(quán)系數(shù)問題.35(1)線性轉(zhuǎn)移函數(shù)的權(quán)系數(shù)求法對比上述等式兩端B的同次冪的系數(shù)，可得系數(shù)方程組：36易見權(quán)系數(shù)滿足二階齊次線性差分方程組37分兩種情形討論:ⅰ)若自回歸多項式有兩個不等實
12、根u1與u2時，AR(2)模型的一般解為38ⅱ)若自
