3、歸模型描述了數(shù)據(jù)序列內(nèi)部的遞推的線性回歸關(guān)系。5例1.1單擺現(xiàn)象：?jiǎn)螖[在第t個(gè)擺動(dòng)周期中最大擺幅記為xt，由于阻尼作用，在第t+1個(gè)擺動(dòng)周期中，其最大振幅為其中?為阻尼系數(shù)。若再受到外界干擾εt的影響，則實(shí)際上的最大振幅為易見(jiàn),此例即為一個(gè)一階自回歸模型AR(1)。6一般的,在AR(p)模型中的系數(shù)多項(xiàng)式稱為AR(p)模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式。若α(u)=0的根都在單位圓外時(shí)，稱此為平穩(wěn)的AR(p)模型，否則為非平穩(wěn)的AR(p)模型，或廣義的AR(p)模型。注：條件α(u)=0的根都在單位圓外，稱為平穩(wěn)性條件。
4、7例1.2如果時(shí)間序列xt滿足試問(wèn)此xt是否為平穩(wěn)的序列模型。解：因?yàn)槠渥曰貧w系數(shù)多項(xiàng)式為易見(jiàn),α(u)=0的根為3/2>1,所以這是平穩(wěn)的AR(1)模型。8例1.3如果時(shí)間序列xt滿足試問(wèn)此xt是否為平穩(wěn)的序列模型。解：由于其自回歸系數(shù)多項(xiàng)式為的根為u1=2>1與u2=1/2<1,故知其根不都在單位圓外，所以這是非平穩(wěn)的AR(2)序列模型。9自回歸模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部的回歸關(guān)系，故稱為自回歸，與通常的線性回歸性質(zhì)是不一樣的。10二、中心化AR(p)模型設(shè){xt}為平穩(wěn)序列，且有則對(duì)上式兩端同取數(shù)學(xué)期望，即得由
5、于{xt}為平穩(wěn)序列，故11即得則可得一個(gè)均值為0的新序列：此時(shí)wt稱為xt的平穩(wěn)中心化序列。12以后一般均討論中心化的平穩(wěn)模型或序列:13三、平穩(wěn)模型的平穩(wěn)解設(shè)平穩(wěn)AR(p)模型為式中{εt}為白噪聲序列，系數(shù)α1，α2，…，αp滿足平穩(wěn)條件：系數(shù)多項(xiàng)式α(u)=0的根都在單位圓外。141后移算子若算子B滿足等式:則稱B為后移算子,即B作用xt后使其轉(zhuǎn)化為xt-1類似的于是,AR(p)模型可以表示為15即得一差分方程:其中α(B)為后移算子多項(xiàng)式,即稱為自回歸算子:16易見(jiàn)，濾波器成為一個(gè)對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行變換
6、的實(shí)體，變換前的序列稱為輸入，經(jīng)濾波器變換的得到的序列稱為輸出。自回歸濾波器xtεt差分方程式可用框圖表示:設(shè)想有一個(gè)濾波器，輸入的是某種平穩(wěn)序列，而輸出的則是白噪聲序列，即172AR(p)序列的平穩(wěn)域與允許域定義2.2AR(p)序列的平穩(wěn)域?yàn)槠湎禂?shù)取值的集合：其允許域?yàn)槠渥韵嚓P(guān)函數(shù)的前p個(gè)值的集合:其中矩陣Γp與Rp,向量α、b與d分別為：1819例如一階自回歸模型AR(1)：20注:實(shí)際上由平穩(wěn)AR(p)模型:21再對(duì)兩端取數(shù)學(xué)期望,并由性質(zhì):22類似的,在平穩(wěn)AR(p)模型兩端分別同乘以23再對(duì)兩端取數(shù)
7、學(xué)期望,并由上述性質(zhì)可得:24其次,由于自相關(guān)系數(shù)等于:25263AR(1)序列平穩(wěn)解與自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行反復(fù)的迭代運(yùn)算，則對(duì)任何自然數(shù)n，有27于是對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列，如果有
8、α
9、<1，則28即它是滿足AR(1)模型平穩(wěn)解.若用算子表示式：稱為線性轉(zhuǎn)移函數(shù)。29注意到麥克勞林展開(kāi)式可知線性轉(zhuǎn)移函數(shù)是一階自回歸算子的逆算子。故當(dāng)k>0時(shí),其自相關(guān)函數(shù)：3031類似的,當(dāng)k<0時(shí),其自相關(guān)函數(shù)為32特別地，AR(1)序列的方差函數(shù)為其自相關(guān)系數(shù)為因?yàn)?/p>
10、α
11、<1，故相關(guān)系數(shù)依指數(shù)規(guī)律向零衰減。33例2.1試求AR(1)
12、序列的平穩(wěn)解與自相關(guān)函數(shù)。的系數(shù)多項(xiàng)式為故得其平穩(wěn)解為而自相關(guān)系數(shù)為344.AR(2)序列的平穩(wěn)解與自相關(guān)函數(shù)因此,求AR(2)模型的平穩(wěn)解,即化為求線性轉(zhuǎn)移函數(shù)的權(quán)系數(shù)問(wèn)題.35(1)線性轉(zhuǎn)移函數(shù)的權(quán)系數(shù)求法對(duì)比上述等式兩端B的同次冪的系數(shù)，可得系數(shù)方程組：36易見(jiàn)權(quán)系數(shù)滿足二階齊次線性差分方程組37分兩種情形討論:ⅰ)若自回歸多項(xiàng)式有兩個(gè)不等實(shí)根u1與u2時(shí)，AR(2)模型的一般解為38ⅱ)若自
