復雜無標度網(wǎng)絡的特性

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1、復雜網(wǎng)絡的無標度特性上海理工大學管理學院、系統(tǒng)工程研究所張寧目錄概率統(tǒng)計預備知識網(wǎng)絡(圖)的基本概念規(guī)則圖和隨機網(wǎng)Scale-free網(wǎng)絡常用軟件參考文獻一、概率統(tǒng)計預備知識目錄隨機變量與分布函數(shù)（離散、連續(xù)）隨機變量的數(shù)字特征（數(shù)學期望、方差）泊松分布冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)隨機變量與分布函數(shù)對某個隨機試驗，如果每次試驗的結果可以用一個數(shù)X來表示，而且對任何實數(shù)k，X

2、定的概率，即，則稱X是離散隨機變量（或X是離散分布的），稱為的概率分布，它滿足下列條件：連續(xù)型分布若存在一個非負函數(shù)，使隨機變量X的分布函數(shù)可以表示為則X稱為連續(xù)隨機變量（或X是連續(xù)分布的），稱為隨機變量X的概率密度。的性質(zhì)隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)學期望定義1設x是離散型隨機變量，它的概率函數(shù)是隨機變量的數(shù)學期望，反映了隨機變量取值的平均水平，即均值，是隨機變量的算術平均。方差為隨機變量的方差。方差是刻劃隨機變量取值離差程度的一個數(shù)。X的方差的算術平方根稱為標準差(或均方差）若X是離散型隨機變量，則方差為：泊松定理設隨機變量Xn(n=0，1，2，…)服從二項分布，其分布律為其

3、中設為常數(shù)則泊松分布設隨機變量X所有可能取的值為0，1，2，…，而取各個可能值的概率為：若>0是常數(shù)，則稱變量X服從參數(shù)為泊松分布，記為于是，x的數(shù)學期望為：即所以，X的方差和均方差分別為：指數(shù)函數(shù)對公式線性化，兩邊取對數(shù)得令則指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)式中為實數(shù)。對公式線性化，兩邊取對數(shù)，得令，，得函數(shù)形式為：冪函數(shù)變量代換可在雙對數(shù)坐標上得直線，二、網(wǎng)絡(圖)的基本概念中國教科網(wǎng)網(wǎng)絡(圖)的基本概念節(jié)點通常用來表示系統(tǒng)中的部件；邊通常用來表示系統(tǒng)中部件之間的關系。網(wǎng)絡(圖)就是由節(jié)點與節(jié)點之間的關系構成的一張圖。中國教科網(wǎng)拓撲結構網(wǎng)絡（圖）的基本概念關聯(lián)與鄰接度、平均度節(jié)點的度分布最

4、短路徑與平均路徑長度群系數(shù)網(wǎng)絡(圖)的基本概念aedcb有向圖、無向圖、不連通圖網(wǎng)絡(圖)的基本概念節(jié)點的度分布是指網(wǎng)絡（圖）中度為的節(jié)點的概率隨節(jié)點度的變化規(guī)律。網(wǎng)絡(圖)的基本概念最短路徑就是從指定始點到指定終點的所有路徑中總權最小的一條路經(jīng)。平均路徑長度是指所有點對之間的最短路徑的算術平均值。網(wǎng)絡(圖)的基本概念集群系數(shù)(Clusteringcoefficient)反映網(wǎng)絡的群集程度，定義為網(wǎng)絡的平均度與網(wǎng)絡規(guī)模之比。227755553311網(wǎng)絡(圖)的基本概念節(jié)點1到7之間的最短路13，平均路徑長度5.47，平均度為3.4，集群系數(shù)為0.48。網(wǎng)絡(圖)的基本概念三、規(guī)則圖

5、和隨機圖規(guī)則圖的特征如果系統(tǒng)中節(jié)點及其與邊的關系是固定的，每個節(jié)點都有相同的度數(shù)，就可以用規(guī)則圖來表示這個系統(tǒng)。隨機圖的特征如果系統(tǒng)中節(jié)點及其與邊的關系不確定，就只能用隨機圖來表示這個系統(tǒng)。規(guī)則圖的特征平均度為3。隨機圖的特征節(jié)點確定，但邊以概率任意連接。節(jié)點不確定，點邊關系也不確定。隨機圖——節(jié)點19，邊43平均度為2.42，集群系數(shù)為0.13。隨機圖——節(jié)點42，邊118平均度為5.62，集群系數(shù)為0.133。四、Scale-free網(wǎng)絡目錄早期網(wǎng)絡模型無標度Scale-free網(wǎng)絡BA模型早期網(wǎng)絡模型ER模型小世界模型ER模型Erd?s和Rényi（ER）最早提出隨機網(wǎng)絡模型

6、并對模型進行了深入研究，他們是用概率統(tǒng)計方法研究隨機圖統(tǒng)計特性的創(chuàng)始人。在模型開始階段給定N個節(jié)點，沒有邊，以概率p用邊連接任意一對節(jié)點，用這樣的方法產(chǎn)生一隨機網(wǎng)絡。ER模型Erd?s和Rényi（1959）首先研究了在隨機網(wǎng)絡中最大和最小度的分布，Bollobás(1981)隨后得到了所有度分布的形式，推導出度數(shù)為k的節(jié)點數(shù)遵從平均值為的泊松分布，即Connectwithprobabilitypp=1/6N=10?k?~1.5Poissondistribution小世界模型為了描述從一個局部有序系統(tǒng)到一個隨機網(wǎng)絡的轉移過程，Watts和Strogatz（WS）提出了一個新模型，通

7、常稱為小世界網(wǎng)絡模型。WS模型始于一具有N個節(jié)點的一維網(wǎng)絡，網(wǎng)絡的節(jié)點與其最近的鄰接點和次鄰接點相連接，然后每條邊以概率p重新連接。約束條件為節(jié)點間無重邊，無自環(huán)。C(p):clusteringcoeff.L(p):averagepathlengthP(k)=0.1p(k)=0.3小世界模型當p等于0時，對應的網(wǎng)絡規(guī)則圖。兩個節(jié)點間的平均距離線性地隨N增長而增長，集群系數(shù)大。當p等于1時，系統(tǒng)變?yōu)殡S機圖。對數(shù)地隨N增長而增長，且集群系數(shù)隨N減少而減少。在p