函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

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1、知識點——函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間【單調(diào)區(qū)間定義】若函數(shù)f（x）在定義域某區(qū)間D上是單調(diào)增函數(shù)，則我們就稱區(qū)間D是f（x）的一個單調(diào)增區(qū)間，同理，若函數(shù)f（x）在定義域某區(qū)間D上是單調(diào)減函數(shù)，則我們就稱區(qū)間D是f（x）的一個單調(diào)減區(qū)間。函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間【要點詮釋】函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，應首先確定其定義域，定義域中的x1,x2相對于單調(diào)區(qū)間具有任意性，不能用特殊值替代.f(x)在區(qū)間D1、D2上是增函數(shù)，但f(x)不一定在區(qū)間D1∪D2上是增函數(shù)；同樣f(x)在區(qū)間D1、D2上是減函數(shù)，但f(

2、x)在區(qū)間D1∪D2上不一定是減函數(shù).例如：在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù)，在(-∞,0)上也是減函數(shù)，但在(0,+∞)∪(-∞,0)上就不能說成是減函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間【典型例題】求下列函數(shù)的增區(qū)間與減區(qū)間（1）y＝

3、x2＋2x－3

4、（2）（3）函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間【典型例題】解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的圖像，保留其在x軸及x軸上方部分，把它在x軸下方的圖像翻到x軸就得到y(tǒng)＝

5、x2＋2x－3

6、的圖像，如圖所示：由圖像易得：遞增區(qū)間是[－3，－1]，[1，＋∞)遞減區(qū)間是(－∞，－3]，[－1，

7、1]函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間【典型例題】(2)分析：先去掉絕對值號，把函數(shù)式化簡后再考慮求單調(diào)區(qū)間．解當x－1≥0且x－1≠1時，得x≥1且x≠2，則函數(shù)y＝－x，為減函數(shù)；當x－1＜0且x－1≠－1時，得x＜1且x≠0時，則函數(shù)y＝x－2，為增函數(shù).∴增區(qū)間是(－∞，0)和(0，1)減區(qū)間是[1，2)和(2，＋∞)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間【典型例題】(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．令u＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上遞增，在x∈(－1，1]上遞減。而在u≥0上是增函數(shù)。∴函數(shù)y的增區(qū)間是[

8、－3，－1]，減區(qū)間是(－1，1].函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間【證明單調(diào)性的方法】(1)取值：對任意x1，x2∈M，且x1﹤x2；(2)作差變形：f（x1）－f（x2）；(3)定號得出結(jié)論.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間【典型例題】證明：(定義法)任取x1、x2∈(0，)，且x1＜x2，則，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴函數(shù)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù).證明函數(shù)在區(qū)間(0，)上是減函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間【變式訓練】利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)。證取任意兩個值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2.∵f(x2)

9、－f(x1)＝(x2－x1)()這里有三種證法：證法(一)當x2x1﹤0時，當x2x1≥0時，又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間【變式訓練】證法(二)∵這里與x2不會同時為0，否則且x2＝0則x1＝0這與x1＜x2矛盾，∴證法(三)易知關于x1的一元二次不等式由于所對應的二次函數(shù)恒在x軸的上方，故不等式恒成立。綜上＜0成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)。