《由曲線(xiàn)求它的方程、由方程研究曲線(xiàn)的性質(zhì)》教學(xué)案1

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1、《2.1.2由曲線(xiàn)求它的方程、由方程研究曲線(xiàn)的性質(zhì)》教學(xué)案1一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方法．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)通過(guò)對(duì)求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面知識(shí)的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)通過(guò)對(duì)求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實(shí)的基礎(chǔ)．二、教材分析1．重點(diǎn)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法．(解決辦法：對(duì)每種方法用例題加以說(shuō)明，使學(xué)生掌握這種方法．)2．難點(diǎn)：作相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方法．(解決

2、辦法：先使學(xué)生了解相關(guān)點(diǎn)法的思路，再用例題進(jìn)行講解．)教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神．三、教學(xué)過(guò)程學(xué)生探究過(guò)程：(一)復(fù)習(xí)引入大家知道，平面解析幾何研究的主要問(wèn)題是：(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線(xiàn)的方程；(2)通過(guò)方程，研究平面曲線(xiàn)的性質(zhì)．我們已經(jīng)對(duì)常見(jiàn)曲線(xiàn)圓、橢圓、雙曲線(xiàn)以及拋物線(xiàn)進(jìn)行過(guò)這兩個(gè)方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來(lái)對(duì)根據(jù)已知條件求曲線(xiàn)的軌跡方程的常見(jiàn)技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分析．(二)幾種常見(jiàn)求軌跡方程的方

3、法1．直接法由題設(shè)所給(或通過(guò)分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)的方程，這種方法叫直接法．例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線(xiàn)，求割線(xiàn)被圓O截得弦的中點(diǎn)的軌跡．對(duì)(1)分析：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

4、OP

5、=2R或

6、OP

7、=0．解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則有

8、OP

9、=2R或

10、OP

11、=0．即x2+y2=4R2或x2+

12、y2=0．故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0．對(duì)(2)分析：題設(shè)中沒(méi)有具體給出動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的幾何條件，但可以通過(guò)分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點(diǎn)連線(xiàn)垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)．由學(xué)生演板完成，解答為：設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x，y)，連結(jié)OM，則OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn))．2．定義法利用所學(xué)過(guò)的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線(xiàn)的定義、拋物線(xiàn)的定義直接寫(xiě)出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線(xiàn)及

13、兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件．直平分線(xiàn)l交半徑OQ于點(diǎn)P(見(jiàn)圖2－45)，當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．分析：∵點(diǎn)P在AQ的垂直平分線(xiàn)上，∴

14、PQ

15、=

16、PA

17、．又P在半徑OQ上．∴

18、PO

19、+

20、PQ

21、=R，即

22、PO

23、+

24、PA

25、=R．故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義寫(xiě)出P點(diǎn)的軌跡方程．解：連接PA∵l⊥PQ，∴

26、PA

27、=

28、PQ

29、．又P在半徑OQ上．∴

30、PO

31、+

32、PQ

33、=2．由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓．3．相關(guān)點(diǎn)法若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線(xiàn)

34、上的點(diǎn)Q(x0，y0)的變動(dòng)而變動(dòng)，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線(xiàn)方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程．這種方法稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法)．例3　已知拋物線(xiàn)y2=x+1，定點(diǎn)A(3，1)、B為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當(dāng)B點(diǎn)在拋物線(xiàn)上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．分析：P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的原因是B點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的聯(lián)系．解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P為線(xiàn)段AB的內(nèi)分點(diǎn)．4．待定系數(shù)法求圓、橢圓、雙曲線(xiàn)

35、以及拋物線(xiàn)的方程常用待定系數(shù)法求．例4　已知拋物線(xiàn)y2=4x和以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸、實(shí)軸在y軸上的雙曲曲線(xiàn)方程．分析：因?yàn)殡p曲線(xiàn)以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線(xiàn)方ax2-4b2x+a2b2=0∵拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對(duì)稱(chēng)性，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根．∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由學(xué)生完成)由弦長(zhǎng)公式得：即a2b2=4b2-a2．(三)鞏固練習(xí)用十多分鐘時(shí)間作一個(gè)小測(cè)驗(yàn)，檢查一下教學(xué)效果．練習(xí)題用一小黑板給出．1．△A

36、BC一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的2．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線(xiàn)x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形？3．求拋物線(xiàn)y2=2px(p＞0)上各點(diǎn)與焦點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)的軌跡方程．答案：義法)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：(四)、教學(xué)反思求曲線(xiàn)的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是