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《平穩(wěn)過程5-平穩(wěn)過程的譜分解》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、5.5平穩(wěn)過程的譜分解主講人：李偉西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院2013年秋季一一、一、、平穩(wěn)過程、平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的譜分解1.相關(guān)函數(shù)的譜分解定理1(維納-辛欽定理)設(shè){X(t),-∞0，則令XR()tXf()t=R(0)X∵R(
2、)t連續(xù)，非負定.X則f()t連續(xù)，f()t非負定，且f(0)1=.f()t是某個r.v.W的特征函數(shù)，即存在分布函數(shù)G(),s.t.wRX()tjW+￥j()=E[t]tw()ft=e=∫edGwR(0)-￥X+￥jtwR()t=R(0)edG()wXX∫-￥1+￥jtw=ed(2pR(0)()Gw)∫X2p-￥取F()w=2pR(0)()GwXX1+￥jwt即得R（）t=edF(),w-￥<<+￥tX∫X-￥2p容易驗證F(w)=2pR(0)G(w)滿足定理中各條件.XX稱函數(shù)FX(ωω)ω)))為平穩(wěn)過程{X(t),-∞3、..1+￥jwt稱R（t）=edF()w,-￥<<￥t+X∫X2p-￥為平穩(wěn)過程{X(t),-∞4、的譜分解式比較tX1+￥jwtR（）t=edF()w,-￥<<+￥tX∫X2p-￥F￠()w=S().wXX對離散參數(shù)集上的平穩(wěn)時間序列,有相類似的結(jié)果.定理3設(shè){Xn,n=0,±1,±2,…}是平穩(wěn)時間序列,則其相關(guān)函數(shù)可以表示為1+pjmRmewdF(),m0,1,（）=w=±?()*X∫X2p-p其中F（）w是在[-,+]上非負pp，有界，單調(diào)不減，X右連續(xù).且F（-），p=0F（+）p=2pR（）0XXX稱FX(ω)為平穩(wěn)時間序列{Xn,n=0,±1,…}的譜函數(shù).稱()*式為平穩(wěn)時間序列相關(guān)函數(shù)的譜展開式,或譜分解式.譜密度S(ω)和譜函數(shù)的
5、有關(guān)系XF()wSd,w=（）ll-p￡w￡pX∫X-p例5.5.1設(shè){X(t),-∞0,X求{X(t),-∞6、<+∞}是平穩(wěn)過程.+￥1+￥jwtjwtRtt(,+t)=edF()w=ed(2pF())wZ∫∫-￥2p-￥F()w=2pF()wZ二二、二、平穩(wěn)過程的譜分解回顧：對確定信號x(t),滿足Dirichlet條件且絕對可積,則x(t)存在頻譜:+￥-jtwF()w=extdt()x∫-￥1+￥jtw則xt()=eF()wdt∫-￥x2p說明x(t)可分解為一些復(fù)諧波的無限疊加本節(jié)將給出在很一般的條件下平穩(wěn)過程也可以表示為無窮多個復(fù)諧波的疊加.不失一般性,本節(jié)總假定mX=0定理1(復(fù)平穩(wěn)過程的譜分解)設(shè){X(t),-∞7、過程,其譜函數(shù)為FX(ω),則X(t)可以表示為+￥jtwXt()=∫edZ(),w-￥<<+￥t-￥其中-jtw1Te-1Z()w=l.i.m∫Xtdt(),-￥8、￥T?+￥-T將[-T，T]等分為2N個子區(qū)間，由均方積分定義NkjtTkT(k
