全等—輔助線

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1、全等三角形輔助線的作法（一）【直接連線構(gòu)造全等】例1：如圖所示，AC、BD相交于O點，且AB=DC,AC=BD.求證：∠A＝∠D【截長補(bǔ)短造全等】一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等．例2．如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB．求證：AC=AE+CD．?　　　　　　　　　　　　　　【中線倍長造全等】三角形問題中涉及中線（中點）時，將三

2、角形中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路．例3．已知三角形的兩邊AB、AC長分別為7和5，求中線AD的取值范圍．　【作平行線構(gòu)造全等】當(dāng)三角形問題中有相等的角或等腰等條件時，可通過作平行線將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件．例4．如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD．連接DE交BC于F．求證：DF=EF．?【作垂線構(gòu)造全等】例5.如圖，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直

3、角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA，OB交于點C和D，證明：PC=PD．【補(bǔ)全圖形造全等】在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決．?例6．如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的平分線．若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長．?【利用角的平分線對稱構(gòu)造全等】角的平分線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對稱

4、構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法．?例6．如圖5，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．證明：AD=CD．?【利用中點造全等】例7.如圖所示，AB＝DC，∠A＝∠D。求證：∠ABC＝∠DCB.練習(xí)1、如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求證：∠B=∠D．2、如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，求證：AD＜（AB+AC）。3、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求證：∠A+∠C=180°．4、如圖，AC∥BD，EA、EB分別平分∠C

5、AB、∠DBA，CD過E點，求證：AB=AC+BD5、如圖，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC．求證：（1）AM平分∠DAB；（2）DM⊥AM．6、已知：如圖，在△ABC中，O是∠B、∠C外角的平分線的交點，那么點O在∠A的平分線上嗎？為什么？7、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD、CE相交于點0.求證：OE=OD8、已知：如圖，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC，過D作DE∥BA交AE與點F，DF=FC。求證：AE平分角∠BAC。9、

6、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE。10、如圖，已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠1=∠2，CE⊥BD于E．求證：BD=2CE．11、如圖，已知△ABC中AB＞AC，P是角平分線AD上任一點。求證：AB-AC＞PB-PC．