《擺線》導(dǎo)學(xué)案3

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1、《擺線》導(dǎo)學(xué)案3【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解漸擺線的生成過程及它的的參數(shù)方程.【重點難點】用向量知識推導(dǎo)運動軌跡曲線的方法和步驟【學(xué)習(xí)過程】一、知識梳理1.擺線及其參數(shù)方程(1)當(dāng)一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周上的一個定點運動的軌跡叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線．(2)設(shè)圓的半徑為r，圓滾動的角為φ，那么擺線的參數(shù)方程是(φ是參數(shù))．2．圓的擺線的參數(shù)方程中的參數(shù)φ的幾何意義是什么？【提示】　同樣，根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指定圓的半徑，參數(shù)φ是指圓上定點相對于定直線與圓的切點

2、所張開的角度．參數(shù)的幾何意義可以在解決問題中加以引用，簡化運算過程．當(dāng)然這個幾何意義還不是很明顯，直接使用還要注意其取值的具體情況.二、典型例題已知一個圓的擺線過一定點(2,0)，請寫出該圓的半徑最大時該擺線的參數(shù)方程以及對應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程．【思路探究】　根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程(φ為參數(shù))，只需把點(2,0)代入?yún)?shù)方程求出r的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出r的最大值，再確定對應(yīng)的擺線和漸開線的參數(shù)方程即可．【自主解答】　令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r>0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈

3、Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因為x＝2，(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1與C2交點的極坐標(biāo)分別為(，)，(2，)．所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝(k∈Z)．又由實際

4、可知r>0，所以r＝(k∈N＋)．易知，當(dāng)k＝1時，r取最大值為.代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))圓的漸開線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．規(guī)律方法根據(jù)擺線的定義和求解參數(shù)方程的過程可知其中的參數(shù)φ是指圓上定點相對于定直線與圓的切點所張開的角度．三、變式訓(xùn)練已知一個圓的擺線方程是，(φ為參數(shù))，求該圓的面積和對應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程．【解】　首先根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4，所以面積為16π，該圓對應(yīng)的漸開線的參數(shù)方程是：(φ為參數(shù))．【課后練習(xí)】1．關(guān)于漸開線和擺線的敘述，正確的是(　　)A．只

5、有圓才有漸開線B．漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形C．正方形也可以有漸開線D．對于同一個圓，如果建立的平面直角坐標(biāo)系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同【解析】　不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線；漸開線和擺線的實質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同；對于同一個圓不論在什么地方建立平面直角坐標(biāo)系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同．故選C.【答案】　C2．圓(θ為參數(shù))的平擺線上一點的縱坐標(biāo)為0，那么其橫坐標(biāo)可

6、能是(　　)A．πB．3πC．6πD．10π【解析】　根據(jù)條件可知圓的平擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，把y＝0代入，得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．【答案】　C3．已知一個參數(shù)方程是如果把t當(dāng)成參數(shù)，它表示的圖形是直線l(設(shè)斜率存在)，如果把α當(dāng)成參數(shù)(t>0)，它表示半徑為t的圓．(1)請寫出直線和圓的普通方程；(2)如果把圓平移到圓心在(0，t)，求出圓對應(yīng)的擺線的參數(shù)方程．【解】　(1)如果把t看成參數(shù)，可得直線的普通方程為：y－2＝tanα(x－2)

7、，即y＝xtanα－2tanα＋2，如果把α看成參數(shù)且t>0時，它表示半徑為t的圓，其普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝t2.(2)由于圓的圓心在(0，t)，圓的半徑為t，所以對應(yīng)的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)).【反思感悟】