《擺線》導(dǎo)學(xué)案2

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1、《擺線》導(dǎo)學(xué)案2學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解平擺線和漸開線的生成過程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程．2．了解平擺線和漸開線在實(shí)際中的作用．自主導(dǎo)學(xué)一、平擺線1．平擺線(旋輪線)一個(gè)圓在平面上沿著一條直線無滑動地滾動時(shí)，我們把圓周上一定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡叫作______(或旋輪線)，如圖．2．平擺線(旋輪線)的參數(shù)方程半徑為r的圓的平擺線的參數(shù)方程為(－∞＜α＜＋∞)．3．平擺線的性質(zhì)當(dāng)圓滾動半周時(shí)，過定點(diǎn)M的半徑轉(zhuǎn)過的角度是π，點(diǎn)M到達(dá)最高點(diǎn)____，再滾動半周，點(diǎn)M到達(dá)______，這時(shí)圓周和x軸又相切于點(diǎn)M，得到平擺線的一拱．圓滾動一周時(shí)，平擺線出現(xiàn)一個(gè)周

2、期．平擺線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大值是____，最小值是____，即平擺線的拱高為____．【做一做1】已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．那么圓的平擺線方程中與參數(shù)φ＝對應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為(　　)．A．－1B．C．D．二、漸開線1．漸開線、基圓把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)固定圓盤的圓周上，將鉛筆系在繩的外端，把繩拉緊再逐漸地展開，要求繩的拉直部分和圓保持____，此時(shí)，鉛筆尖所畫出的曲線稱為此圓的______，此圓稱為漸開線的____，如圖．2．漸開線的參數(shù)方程半徑為r的圓的漸開線的參數(shù)方程是(其中φ為參數(shù))．【做一做2－1】半徑為4的

3、圓的漸開線的參數(shù)方程為__________.【做一做2－2】當(dāng)φ為，π時(shí)，圓的漸開線上對應(yīng)點(diǎn)A，B的距離為__________．1．圓的平擺線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義剖析：根據(jù)圓的平擺線的定義和建立參數(shù)方程的過程，可以知道其中的字母r是指圓的半徑，參數(shù)α是過圓周上點(diǎn)M的半徑與過圓與x軸切點(diǎn)的半徑的夾角．參數(shù)的幾何意義可以在解決問題中加以引用，簡化運(yùn)算過程．當(dāng)然這個(gè)幾何意義還不是很明顯，直接使用還要注意其取值的具體情況．2．圓的漸開線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義剖析：根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，

4、而參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動時(shí)，半徑OB相對于Ox轉(zhuǎn)過的角度，如圖，其中的∠AOB即是角φ.顯然點(diǎn)P由參數(shù)φ唯一確定．在我們解決有關(guān)問題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義，把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問題，使求解過程更加簡單．答案：一、1．平擺線2．r(α－sinα)　r(1－cosα)3．(πr,2r)　(2πr,0)　2r　0　2r【做一做1】C　根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的平擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，把φ＝代入?yún)?shù)方程中可得即A.∴

5、AB

6、＝＝.二、1．相切　漸開線　基圓2．r(cosφ＋φsinφ)　r(sinφ－φco

7、sφ)【做一做2－1】(φ為參數(shù))　r＝4，∴(φ為參數(shù))．【做一做2－2】　當(dāng)φ＝時(shí)，∴A.當(dāng)φ＝π時(shí)，∴B(－1，π)．∴

8、AB

9、＝＝＝.題型一求平擺線的參數(shù)方程【例1】已知一個(gè)圓的平擺線過一定點(diǎn)(2,0)，請寫出該圓的半徑最大時(shí)該平擺線的參數(shù)方程．分析：根據(jù)圓的平擺線的參數(shù)方程(φ為參數(shù))，只需把點(diǎn)(2,0)代入?yún)?shù)方程求出r的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出r的最大值，再確定對應(yīng)的平擺線的參數(shù)方程即可．反思：要熟知平擺線的參數(shù)方程及每個(gè)字母的含義．題型二求漸開線的參數(shù)方程【例2】求半徑為10的基圓的漸開線的參數(shù)方程．分析：代入?yún)?shù)方程公式即

10、可．反思：求漸開線的參數(shù)方程，只需知道半徑即可．題型三平擺線、漸開線的參數(shù)方程的應(yīng)用【例3】求平擺線(0≤t＜2π)與直線y＝1的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．分析：利用參數(shù)方程求出t的三角函數(shù)值，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．反思：解此類題，應(yīng)明確相應(yīng)參數(shù)的意義．答案：【例1】解：令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r＞0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因?yàn)閤＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝(k∈N＋)．易知，當(dāng)k＝1時(shí)，r取最大值為.代入即可得圓的平擺線的參數(shù)

11、方程為(φ為參數(shù))．【例2】解：∵r＝10，∴參數(shù)方程為(φ為參數(shù))．【例3】解：由題意知，y＝1－cost＝1，∴cost＝0，∴sint＝1.∴t＝2kπ＋(k∈Z)，又∵0≤t＜2π，∴t＝.∴x＝－1.∴交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.1半徑為2的圓的漸開線方程是(　　)．A．(φ為參數(shù))B．(φ為參數(shù))C．(φ為參數(shù))D．(φ為參數(shù))2半徑為4的圓的平擺線參數(shù)方程為(　　)．A．(φ為參數(shù))B．(φ為參數(shù))C．(φ為參數(shù))D．(φ為參數(shù))3面積為36π的圓的平擺線參數(shù)方程為__________．4已知圓C的參數(shù)方程是(α為參數(shù))，直線l對應(yīng)的

12、普通方程是x－y－＝0.(1)如果把圓心平移到原點(diǎn)O，請判斷平移后圓和直線的位置關(guān)系？(2)寫出平移后圓的平擺線方程．(3)求平擺線和x軸的交點(diǎn)．答案：1．A2．C　把r＝4代入平擺線參數(shù)方程