資源描述：
《《擺線》教學案3》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、《擺線》教學案3教學目標1．了解平擺線和漸開線的生成過程，并能推導出它們的參數方程．2．了解平擺線和漸開線在實際中的作用．教學過程知識梳理一、平擺線1．平擺線(旋輪線)一個圓在平面上沿著一條直線無滑動地滾動時，我們把圓周上一定點的運動軌跡叫作______(或旋輪線)，如圖．2．平擺線(旋輪線)的參數方程半徑為r的圓的平擺線的參數方程為(－∞＜α＜＋∞)．3．平擺線的性質當圓滾動半周時，過定點M的半徑轉過的角度是π，點M到達最高點____，再滾動半周，點M到達______，這時圓周和x軸又相切于點M，得到平擺線的一拱．圓滾動一周時，平擺線
2、出現一個周期．平擺線上點的縱坐標最大值是____，最小值是____，即平擺線的拱高為____．【做一做1】已知一個圓的參數方程為(θ為參數)．那么圓的平擺線方程中與參數φ＝對應的點A與點B之間的距離為( )．A．－1B．C．D．1．圓的平擺線的參數方程中的參數的幾何意義剖析：根據圓的平擺線的定義和建立參數方程的過程，可以知道其中的字母r是指圓的半徑，參數α是過圓周上點M的半徑與過圓與x軸切點的半徑的夾角．參數的幾何意義可以在解決問題中加以引用，簡化運算過程．當然這個幾何意義還不是很明顯，直接使用還要注意其取值的具體情況．答案：一、1．
3、平擺線2．r(α－sinα) r(1－cosα)3．(πr,2r) (2πr,0) 2r 0 2r【做一做1】C 根據圓的參數方程可知，圓的半徑為3，那么它的平擺線的參數方程為(φ為參數)，把φ＝代入參數方程中可得即A.∴
4、AB
5、＝＝.二、1．相切 漸開線 基圓2．r(cosφ＋φsinφ) r(sinφ－φcosφ)【做一做2－1】(φ為參數) r＝4，∴(φ為參數)．【做一做2－2】 當φ＝時，∴A.當φ＝π時，∴B(－1，π)．∴
6、AB
7、＝＝＝.題型一求平擺線的參數方程【例1】已知一個圓的平擺線過一定點(2,0)，請寫出該圓的半徑
8、最大時該平擺線的參數方程．分析：根據圓的平擺線的參數方程(φ為參數)，只需把點(2,0)代入參數方程求出r的表達式，根據表達式求出r的最大值，再確定對應的平擺線的參數方程即可．反思：要熟知平擺線的參數方程及每個字母的含義．題型二求漸開線的參數方程【例2】求半徑為10的基圓的漸開線的參數方程．分析：代入參數方程公式即可．反思：求漸開線的參數方程，只需知道半徑即可．題型三平擺線、漸開線的參數方程的應用【例3】求平擺線(0≤t＜2π)與直線y＝1的交點的直角坐標．分析：利用參數方程求出t的三角函數值，從而求出點的坐標．反思：解此類題，應明確相
9、應參數的意義．答案：【例1】解：令y＝0，可得r(1－cosφ)＝0，由于r＞0，即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ)．又因為x＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2，即得r＝(k∈N＋)．易知，當k＝1時，r取最大值為.代入即可得圓的平擺線的參數方程為(φ為參數)．【例2】解：∵r＝10，∴參數方程為(φ為參數)．【例3】解：由題意知，y＝1－cost＝1，∴cost＝0，∴sint＝1.∴t＝2kπ＋(k∈Z)，又∵0≤t＜2π，∴t＝.∴x＝－1.∴交點的直角坐
10、標為.1半徑為2的圓的漸開線方程是( )．A．(φ為參數)B．(φ為參數)C．(φ為參數)D．(φ為參數)2半徑為4的圓的平擺線參數方程為( )．A．(φ為參數)B．(φ為參數)C．(φ為參數)D．(φ為參數)3面積為36π的圓的平擺線參數方程為__________．4已知圓C的參數方程是(α為參數)，直線l對應的普通方程是x－y－＝0.(1)如果把圓心平移到原點O，請判斷平移后圓和直線的位置關系？(2)寫出平移后圓的平擺線方程．(3)求平擺線和x軸的交點．答案：1．A2．C 把r＝4代入平擺線參數方程即可．3．(φ為參數) S＝3
11、6π，∴r＝6.∴平擺線參數方程為(φ為參數)．4．解：(1)圓C平移后圓心為O(0,0)，它到直線x－y－6＝0的距離為d＝＝6，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓相切．(2)由于圓的半徑是6，所以平擺線的參數方程是(φ為參數)．(3)令y＝0，得6－6cosφ＝0?cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．則x＝12kπ(k∈Z)，即圓的平擺線和x軸的交點為(12kπ，0)(k∈Z)．
