廣義Hamilton系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法

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1、第22卷第1期　計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)　Vol.22,No.12005年2月ChineseJournalofComputationalMechanicsFebruary2005文章編號(hào):100724708(2005)0120047204廣義Hamilton系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)算法311,2張素英,　鄧子辰(1.西北工業(yè)大學(xué)工程力學(xué)系,陜西西安,710072;2.大連理工大學(xué)工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧大連,116024)摘　要:基于廣義Hamilton系統(tǒng)微分方程解析解理論,給出了構(gòu)造保持系統(tǒng)真解典則性的高階顯式積分格式的方法,并說(shuō)明其可推廣到廣義Hamilton控制系統(tǒng)。該方法保持了原系統(tǒng)的幾何定性特

2、征,因而是穩(wěn)定的。數(shù)值例子說(shuō)明了算法的有效性。關(guān)鍵詞:廣義Hamilton系統(tǒng);廣義Poisson括號(hào)結(jié)構(gòu);典則變換中圖分類號(hào):O322　　　文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A(1)雙線性:1　引　言{aF+bG,K}=a{F,K}+b{G,K}(1)Poisson流形上的(有限維)廣義Hamilton系(2)反對(duì)稱性:統(tǒng),作為傳統(tǒng)的辛流形上的Hamilton系統(tǒng)的推廣,{F,G}=-{G,F}(2)具有廣泛的應(yīng)用前景,因?yàn)閺V義系統(tǒng)可以描述比傳(3)Leibnitz法則:統(tǒng)(偶數(shù)維)Hamilton系統(tǒng)更廣泛的數(shù)學(xué)、力學(xué)及{F?G,K}=F?{G,K}+G?{F,K}其他學(xué)科中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型的運(yùn)動(dòng)。Poisson

3、流形(3)上廣義Hamilton系統(tǒng)微分方程的真解是由初始條(4)Jacobi恒等式:[1]件到當(dāng)前狀態(tài)的一個(gè)典則變換。而多數(shù)高階積分{F,{G,K}}+{G,{K,F}}+{K,{F,G}}=0方法不具典則性,易導(dǎo)致偽阻尼或人為激勵(lì),甚至(4)長(zhǎng)時(shí)間迭代后會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。在Hamilton體具有廣義Poisson括號(hào)結(jié)構(gòu)的流形M,稱為[225]系下保結(jié)構(gòu)的辛算法已得到廣泛的研究,我們Poisson流形,記為(M,{,}),簡(jiǎn)記為M。在Poisson流形上初步構(gòu)造了廣義Hamilton動(dòng)力設(shè)Poisson流形的局部坐標(biāo)為(x1,x2,?,xm),[6]系統(tǒng)的二階保結(jié)構(gòu)算法。本文將構(gòu)造廣義則P

4、oisson括號(hào)結(jié)構(gòu)可以由它在坐標(biāo)函數(shù)上的作Hamilton系統(tǒng)保持其真解典則性的k(k≥1)階顯用而確定。式積分格式的方法,并通過(guò)算例進(jìn)行驗(yàn)證。定義2廣義Poisson括號(hào){,}的結(jié)構(gòu)矩陣J(x)是一個(gè)m×m階反對(duì)稱矩陣,其元素由Jij(x)2Poisson流形及其廣義Hamilton={xi,xj}定義,稱為結(jié)構(gòu)元素。系統(tǒng)利用廣義Poisson括號(hào)的Leibnitz性質(zhì),對(duì)∞定義1設(shè)M為m維的光滑流形,M上的廣C(M)中用局部坐標(biāo)x表示的函數(shù)F,G,有:∞∞mm義Poisson括號(hào){,}是一個(gè)C(M)×C(M)?→5F5G{F,G}=∑∑Jij(x)5(5)C∞(M)的光滑映射,對(duì)任意F,

5、G∈C∞(M),滿足:i=1j=1xi5xjm命題1對(duì)于定義在開子集M

6、l(x)+Jjl(x)+Jkl(x)=0作者簡(jiǎn)介:張素英3(19672),女,博士,教授;l=15xl5xl5xl鄧子辰(19642),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師1i,j,k=1,2,?,m(6)?1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.·48·計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)　第22卷　命題2若變換x→y=<(x)是一個(gè)微分同3　數(shù)值方法～胚,則它把J(x)變?yōu)镴(y),后者仍然是廣義以下我們根據(jù)式(17)來(lái)構(gòu)造數(shù)值迭代算法。Poisson括號(hào)的結(jié)構(gòu)矩陣,且有關(guān)系m記～5yQ5yR-1JQR(y)=∑Jij(<(y))mi,j=

7、15xi5xj005H505L(x)=∑Jij(x)00=f1(5x)0+Q,R=1,2,?,m(7)i,j=15xi5xj5x10505定義3若上述變換x→y=<(x)保持廣義f2(x)0+?+fm(x)0(18)5x25xmPoisson括號(hào)結(jié)構(gòu)不變,即那么～000JQR(y)=JQR(y)(Q,R=1,2,?,m)(8)L(x)xi=fi(x)(i=1,2,?,m)(19)此變換稱為廣義典則