第五章 離散傅里葉變換及其快速算法

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1、第五章離散傅里葉變換及其快速算法1離散傅里葉變換(DFT)的推導(dǎo)(1)時域抽樣：目的：解決信號的離散化問題。效果：連續(xù)信號離散化使得信號的頻譜被周期延拓。(2)時域截斷：原因：工程上無法處理時間無限信號。方法：通過窗函數(shù)(一般用矩形窗)對信號進行逐段截取。結(jié)果：時域乘以矩形脈沖信號，頻域相當(dāng)于和抽樣函數(shù)卷積。(3)時域周期延拓：目的：要使頻率離散，就要使時域變成周期信號。方法：周期延拓中的搬移通過與的卷積來實現(xiàn)。表示：延拓后的波形在數(shù)學(xué)上可表示為原始波形與沖激串序列的卷積。結(jié)果：周期延拓后的周期函數(shù)具有離散譜。(4)經(jīng)抽樣、截斷和延拓后，信號時域和頻域都是離

2、散、周期的。過程見圖1。圖1DFT推導(dǎo)過程示意圖(5)處理后信號的連續(xù)時間傅里葉變換：(i)是離散函數(shù)，僅在離散頻率點處存在沖激，強度為，其余各點為0。(ii)是周期函數(shù)，周期為，每個周期內(nèi)有個不同的幅值。(iii)時域的離散時間間隔(或周期)與頻域的周期(或離散間隔)互為倒數(shù)。2DFT及IDFT的定義(1)DFT定義：設(shè)是連續(xù)函數(shù)的個抽樣值，這N個點的寬度為N的DFT為：(2)IDFT定義：設(shè)是連續(xù)頻率函數(shù)的個抽樣值，這N個點的寬度為N的IDFT為：(3)稱為N點DFT的變換核函數(shù)，稱為N點IDFT的變換核函數(shù)。它們互為共軛。(4)同樣的信號，寬度不同的D

3、FT會有不同的結(jié)果。DFT正逆變換的對應(yīng)關(guān)系是唯一的，或者說它們是互逆的。(5)引入(i)用途：(a)正逆變換的核函數(shù)分別可以表示為和。(b)核函數(shù)的正交性可以表示為：(c)DFT可以表示為：(d)IDFT可以表示為：(ii)性質(zhì)：周期性和對稱性：(a)(b)(c)(d)(e)(f)3離散譜的性質(zhì)(1)離散譜定義：稱為離散序列的DFT離散譜，簡稱離散譜。(2)性質(zhì)：(i)周期性：序列的N點的DFT離散譜是周期為N的序列。(ii)共扼對稱性：如果為實序列，則其N點的DFT關(guān)于原點和N/2都具有共軛對稱性。即；；(i)幅度對稱性：如果為實序列，則其N點的DFT關(guān)

4、于原點和N/2都具有幅度對稱性。即；；(1)改寫：(i)簡記為(ii)簡記為(iii)DFT對簡記為：或(iv)(v)4DFT總結(jié)(1)DFT的定義是針對任意的離散序列中的有限個離散抽樣的，它并不要求該序列具有周期性。(2)由DFT求出的離散譜是離散的周期函數(shù)，周期為、離散間隔為。離散譜關(guān)于變元k的周期為N。(3)如果稱離散譜經(jīng)過IDFT所得到的序列為重建信號，，則重建信號是離散的周期函數(shù)，周期為(對應(yīng)離散譜的離散間隔的倒數(shù))、離散間隔為(對應(yīng)離散譜周期的倒數(shù))。(4)經(jīng)IDFT重建信號的基頻就是頻域的離散間隔，或時域周期的倒數(shù)，為。(5)實序列的離散譜關(guān)于

5、原點和(如果N是偶數(shù))是共軛對稱和幅度對稱的。因此，真正有用的頻譜信息可以從0~范圍獲得，從低頻到高頻。(6)在時域和頻域范圍內(nèi)的N點分別是各自的主值區(qū)間或主值周期。5DFT性質(zhì)(1)線性性：對任意常數(shù)()，有(2)奇偶虛實性：(i)DFT的反褶、平移：先把有限長序列周期延拓，再作相應(yīng)反褶或平移，最后取主值區(qū)間的序列作為最終結(jié)果。(ii)DFT有如下的奇偶虛實特性：奇奇；偶偶；實偶實偶；實奇虛奇；實(實偶)+j(實奇)；實(實偶)·EXP(實奇)。(3)反褶和共軛性：時域頻域反褶反褶共軛共軛＋反褶共軛＋反褶共軛(1)對偶性：(i)把離散譜序列當(dāng)成時域序列進行

6、DFT，結(jié)果是原時域序列反褶的N倍；(ii)如果原序列具有偶對稱性，則DFT結(jié)果是原時域序列的N倍。(2)時移性：。序列的時移不影響DFT離散譜的幅度。(3)頻移性：(4)時域離散圓卷積定理：(i)圓卷積：周期均為N的序列與之間的圓卷積為仍是n的序列，周期為N。(ii)非周期序列之間只可能存在線卷積，不存在圓卷積；周期序列之間存在圓卷積，但不存在線卷積。(5)頻域離散圓卷積定理：(6)時域離散圓相關(guān)定理：周期為N的序列和的圓相關(guān)：是n的序列，周期為N。(7)。其中表示按k進行DFT運算。(8)帕斯瓦爾定理：6快速傅里葉變換FFT(1)FFT不是一種新的變換，

7、而是DFT的快速算法。(2)直接DFT計算的復(fù)雜度：計算DFT需要：次復(fù)數(shù)乘法；次復(fù)數(shù)加法。(3)FFT算法推導(dǎo)：(i)第L次迭代中對偶結(jié)點值的計算公式為：，是循環(huán)控制變量。(ii)對偶結(jié)點的關(guān)系如圖2所示：圖2FFT中對偶結(jié)點關(guān)系圖(i)旋轉(zhuǎn)因子：被稱為旋轉(zhuǎn)因子，可預(yù)先算好并保存。(ii)整序：經(jīng)過r次迭代后，得到結(jié)果，實際結(jié)果應(yīng)是，所以流程的最后一步是按下標(biāo)的正常二進制順序?qū)Y(jié)果進行整序。(1)FFT算法特點：()(i)共需次迭代；(ii)第次迭代對偶結(jié)點的偶距為，因此一組結(jié)點覆蓋的序號個數(shù)是。(iii)第次迭代結(jié)點的組數(shù)為。(iv)可以預(yù)先計算好，而且

8、的變化范圍是。(2)FFT算法流程：()(i)初始化