2.4隱函數(shù)和參數(shù)方程求導

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1、第四節(jié)一、隱函數(shù)的導數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)和參數(shù)方程求導第二章一、隱函數(shù)的導數(shù)若由方程可確定y是x的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導方法:兩邊對x求導(含導數(shù)的方程)例1.求由方程在x=0處的導數(shù)解:方程兩邊對x求導得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)例2.求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x求導故切線方程為即例4.求的導數(shù).解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x求導1)對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導法求導:說明:2)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導法求導很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對x求導又如,對x求導兩邊

2、取對數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)若參數(shù)方程可確定一個y與x之間的函數(shù)可導,且則時,有時,有(此時看成x是y的函數(shù))關(guān)系,例5.橢圓參數(shù)方程為，求橢圓在相應(yīng)點處的切線方程.解:當,橢圓上相應(yīng)點坐標為：曲線在相應(yīng)點的切線斜率為：代入點斜式方程，得切線方程為：若上述參數(shù)方程中二階可導,且則由它確定的函數(shù)可求二階導數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得例6.計算由擺線所確定的函數(shù)y=y(x)的二階導數(shù).解:例7.設(shè),且求解:練習:P111題8(1)解:例8.設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對t求導,得故內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導2.對數(shù)求導法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3.

3、參數(shù)方程求導法求高階導數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導公式思考與練習1.求螺線在對應(yīng)于的點處的切線方程.解:化為參數(shù)方程當時對應(yīng)點斜率∴切線方程為2.設(shè)求提示:分別用對數(shù)求導法求答案:3.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對x求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得求①擺線半徑為a的圓周沿直線無滑動地滾動時,其上定點M的軌跡即為擺線.