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《隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對x求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)例1.求由方程在x=0處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對x求導(dǎo)得因x=0時y=0,故確定的隱函數(shù)例2.求橢圓在點處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x求導(dǎo)故切線方程為即例3.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x求導(dǎo)1)對冪指函數(shù)可用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo):說明:按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)
2、公式注意:2)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.例如,兩邊取對數(shù)兩邊對x求導(dǎo)又如,對x求導(dǎo)兩邊取對數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個y與x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時,有時,有(此時看成x是y的函數(shù))關(guān)系,若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得?例4.設(shè),且求已知解:練習(xí):P111題8(1)解:注意:例5.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)?為切線傾角,則拋射體軌跡的參數(shù)方程速
3、度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時,傾角為達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向例6.設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對t求導(dǎo),得故三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率例7.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為?,則兩邊對t求導(dǎo)已知h=500m時,思考題:當(dāng)氣球升至500m時停住,有一觀測者以100m／min的速率
4、向氣球出發(fā)點走來,當(dāng)距離為500m時,仰角的增加率是多少?提示:對t求導(dǎo)已知求試求當(dāng)容器內(nèi)水例8.有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內(nèi)注水,位等于錐高的一半時水面上升的速度.解:設(shè)時刻t容器內(nèi)水面高度為x,水的兩邊對t求導(dǎo)而故體積為V,則內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2.對數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3.參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)4.相關(guān)變化率問題列出依賴于t的相關(guān)變量關(guān)系式對t求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式思考與練習(xí)1.求螺線在對應(yīng)于的點處的切線
5、方程.解:化為參數(shù)方程當(dāng)時對應(yīng)點斜率∴切線方程為2.設(shè)求提示:分別用對數(shù)微分法求答案:3.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對x求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時,故由①得再代入②得求①作業(yè)P1101(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);6;7(2);8(2),(4);9(2);10;12求其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時對求導(dǎo)備用題1.設(shè),求解：2.設(shè)方程組兩邊同時對t求導(dǎo),得
