隱函數(shù)參數(shù)方程求導

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1、隱函數(shù)的導數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)、相關變化率第五節(jié)1一、隱函數(shù)的導數(shù)定義:隱函數(shù)的顯化例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.2問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數(shù)求導法則:用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.兩邊對x求導(含導數(shù)的方程)3例1.解：解得4例2.解：所求切線方程為顯然通過原點.5例3.解：6二、對數(shù)求導法觀察函數(shù)方法：先在方程兩邊取對數(shù)，然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).--------對數(shù)求導法適用范圍：7例4.解：等式兩邊取對數(shù)得8例5.解：等式兩

2、邊取對數(shù)得9一般地（對數(shù)求導法）10三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導?11由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得12若上述參數(shù)方程中二階可導,且則由它確定的函數(shù)可求二階導數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得13例6.解：所求切線方程為14例7.解1516設由方程確定函數(shù)求方程組兩邊對t求導,得故例8.解：17例9.解：18解：得練習：19若曲線由極坐標方程給出,利用可化為極角參數(shù)方程,因此曲線切線的斜率為20例10.解：將曲線的極坐標方程轉換成則曲線的切線斜率為所以法線斜率為又切點為

3、故法線方程為即參數(shù)方程這種將極坐標方程化為參數(shù)方程,借助參數(shù)方程處理問題的方法,在高等數(shù)學中將多次遇到.21四、相關變化率為兩可導函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率22例11.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設氣球上升t分后其高度為h,仰角為?,則兩邊對t求導已知h=500m時,23思考題:當氣球升至500m時停住,有一觀測者以100m

4、／min的速率向氣球出發(fā)點走來,當距離為500m時,仰角的增加率是多少?提示:對t求導已知求24試求當容器內水例12.有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內注水,位等于錐高的一半時水面上升的速度.解:設時刻t容器內水面高度為x,水的兩邊對t求導而故體積為V,則25水面例13.解：橋面20mxy(1)在此人的正下方有一條小船以的速度在與橋垂直的方向航行,求經(jīng)5s后,人與小船相分離的速度.對t求導(2)(3)26內容小結1.隱函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導2.對數(shù)求導法:適用于冪指函數(shù)及某些

5、用連乘,連除表示的函數(shù)3.參數(shù)方程求導法極坐標方程求導4.相關變化率問題列出依賴于t的相關變量關系式對t求導相關變化率之間的關系式轉化求高階導數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導公式27思考題不對．28求其反函數(shù)的導數(shù).解:方法1方法2等式兩邊同時對求導2.設293.設由方程確定,解:方程兩邊對x求導,得再求導,得②當時,故由①得再代入②得求①30