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《隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)§2.4隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)三、相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù)與隱函數(shù)形如y?f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)?例如?y?sinx?y?lnx?ex都是顯函數(shù)?由方程F(x?y)?0所確的函數(shù)稱為隱函數(shù)?把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)?叫做隱函數(shù)的顯化?例如?方程x?y3?1?0確定的隱函數(shù)為隱函數(shù)的求導(dǎo)法把方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)?然后從所得的新的方程中把隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解出.例1求由方程ey?xy?e?0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)?(ey)??(xy)??(e)??(0)??即ey?y??y+xy??0?方程中每一項(xiàng)對x求導(dǎo)得解例2求由方程y5?2y?x?3x
2、7?0所確定的隱函數(shù)y?f(x)在x?0處的導(dǎo)數(shù)y?
3、x?0?因?yàn)楫?dāng)x?0時?從原方程得y?0?所以5y4?y??2y??1?21x6?0?方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)得解例3.求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對x求導(dǎo)故切線方程為即解上式兩邊再對x求導(dǎo)?得的二階導(dǎo)數(shù)?例4方程兩邊對x求導(dǎo)?得y??f(x)?[lnf(x)]??對數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y?[u(x)]v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù)?此方法是先在y?f(x)的兩邊取對數(shù)?然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出y的導(dǎo)數(shù)?設(shè)y?f(x)?兩邊取對數(shù)?得lny?lnf(x)?兩邊對x求導(dǎo)?得對數(shù)求導(dǎo)法例5求y?xsinx(x>0)的導(dǎo)數(shù)
4、?解法二這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求.解法一上式兩邊對x求導(dǎo)?得兩邊取對數(shù)?得lny?sinx?lnx?y?xsinx?esinx·lnx?上式兩邊對x求導(dǎo)?得說明?嚴(yán)格來說?本題應(yīng)分x?4?x?1?2?x?3三種情況討論?但結(jié)果都是一樣的?例6先在兩邊取對數(shù)?得解設(shè)x?j(t)具有反函數(shù)t?j-1(x)?且t?j-1(x)與y?y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y?y[j-1(x)]?若x?j(t)和y?y(t)都可導(dǎo)?則二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程?íì==)()(tytxyj確定的.解例7.求橢圓?íì==tbytaxsincos在相應(yīng)于4p=t點(diǎn)處的切
5、線方程.所求切線的斜率為abdxdyt-==4p.再求速度的方向?設(shè)a是切線的傾角?則軌道的切線方向?yàn)橛谑菕伾潴w在時刻t的運(yùn)動速度的大小為x?(t)=v1?y?(t)=v2-gt?求拋射體在時刻t的運(yùn)動速度的大小和方向?例8拋射體運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為?速度的水平分量與鉛直分量分別為先求速度的大小?解討論:已知x?j(t),y?y(t)?如何求y對x的二階導(dǎo)數(shù)y???例9.設(shè)求例10.設(shè),且求解:解:的函數(shù)y?f(x)的二階導(dǎo)數(shù)?解(t?2np?n為整數(shù))?例11．計算由擺線的參數(shù)方程?íì-=-=)cos1()sin(tayttax所確定三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱
6、為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率例12.一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為?,則兩邊對t求導(dǎo)已知h=500m時,作業(yè)：p-111習(xí)題2-41(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);7(2);8(2),(4);9(2);10;12
