用頻率估計概率.2 用頻率估計概率

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第六章　概率的進一步認識6.2用頻率估計概率一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生通過以前的學習，對用試驗方法估計隨機事件發(fā)生的概率有了初步的認識，知道了“當試驗次數(shù)較大，實驗頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計某一事件發(fā)生的概率”.學生的活動經(jīng)驗基礎：經(jīng)歷了試驗、統(tǒng)計過程，獲得了用試驗方法估計事件發(fā)生的概率的體驗，并且在以前的數(shù)學學習活動中已經(jīng)歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力.二、教學任務分析本節(jié)課的重點是掌握試驗的方法估計復雜的隨機事件發(fā)生的概率。難點是試驗估計隨機事件發(fā)生的概率；關鍵是通過試驗、統(tǒng)計活動，體會隨機事件的概率。為此，本節(jié)課的教學目標是：1、知識與技能經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、進行試驗、統(tǒng)計結果、合作交流的過程，估計一些復雜的隨機事件發(fā)生的概率.2、過程與方法經(jīng)歷試驗、統(tǒng)計等活動過程，在活動中進一步發(fā)展學生合作交流的意識和能力.3、情感、態(tài)度、價值觀通過對貼近學生生活的有趣的生日問題的試驗、統(tǒng)計，提高學生學習數(shù)學的興趣，且有助于破除迷信，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和辯證唯物主義世界觀.三、教學過程分析 本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)：一、課前準備；二、情境引入；三、探索新知；四、練習提高；五、課時小結；六、布置作業(yè)；七、活動探究.第一環(huán)節(jié)：課前準備（提前一周布置）內容：以6人合作小組為單位，開展調查活動：每人課外調查10個人的生日、生肖.目的：收集數(shù)據(jù)，為本節(jié)課的學習提供素材，在課堂中運用源于學生實際調查的真實數(shù)據(jù)展開教學，能極大地激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣及學習的積極性與主動性.另一方面，也鍛煉了學生的社交能力.實際效果與注意事項：學生課外收集數(shù)據(jù)時有可能來自相同的人，各小組課前準備時，教師提醒盡量避免調查相同的人，最好每個小組的調查范圍相對確定，如：初一、初二、初三等。第二環(huán)節(jié)：情境引入內容：《紅樓夢》第62回中有這樣的情節(jié)：當下又值寶玉生日已到，原來寶琴也是這日，二人相同?！u人笑道：“這是他來給你拜壽.今兒也是他的生日，你也該給他拜壽.”寶玉聽了，喜的忙作下揖去，說：原來今兒也是姐姐的芳誕.”平兒還福不迭?！酱好枺骸霸瓉硇厦妹靡彩墙駜?，我怎么就忘了。”……探春笑道：“倒有些意思，一年十二個月，月月有幾人生日。人多了，便這等巧了，也有三個一日，兩個一日的?！康模阂孕≌f情節(jié)開篇，引人入勝，直接引入與生日有關的話題，激發(fā)學生的學習興趣.實際效果：學生置身于情境之中，并陷入思考：為什么“便這等巧？”第三環(huán)節(jié)：探索新知經(jīng)歷試驗、統(tǒng)計等活動過程，估計復雜隨機事件（生日相同）的概率。內容：教師提出問題串 （1）400位同學中，一定有2人的生日相同（可以不同年）嗎？有什么依據(jù)呢？（2）300位同學中，一定有2人的生日相同（可以不同年）嗎？（3）教師提出一個論斷：“我認為咱們班50個同學中很可能就有2個同學的生日相同”你相信嗎？對于問題（1），學生能給予肯定的回答“一定”，對于能力比較強的學生可以用“抽屜原理”加以解釋。例如，有的學生會給出如下的解釋：“一年最多366天，400個同學中一定會出現(xiàn)至少2人出生在同月同日，相當于400個物品放到366個抽屜里，一定至少有2個物品放在同一抽屜里—抽屜原理：把m個物品任意放進幾個空抽屜里（m＞n），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個物品”。對于問題（2），學生會給出“不一定”的答案。對于問題（3），學生會表示懷疑，不太相信。于是，在班級課堂里展開現(xiàn)場的調查。得到數(shù)據(jù)后請學生反思：①如果50個同學中有2人生日相同，能否說明50人中有2人生日相同的概率是1？②如果50人中沒有2人生日相同，就說明50人中2人生日相同的概率為0？學生能根據(jù)以往的知識進行反思，并能舉一些類似的問題作為例子。例如：隨意拋擲一枚硬幣，若國徽面朝上，說它的確概率為1，國徽面朝下的概率為0.顯然是錯誤的，我們知道它們的概率均為0.5.隨意拋擲一枚骰子，“6朝上”時我們說“6朝上”的概率為1，6朝下的概率為0，顯然也是錯誤的，我們知道它們的概率為1/6.活動一，每個同學課外調查10人的生日，從全班的調查結果中隨機選擇50人，看有沒有2人生日相同，設計方案估計50人中有2人生日有相同的概率.活動設計目的：通過具體收據(jù)數(shù)據(jù)、實驗、統(tǒng)計結果過程，豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，對本節(jié)課有更直觀的感知，經(jīng)歷用實驗估計理論概率的過程，初步感受到生日相同的概率較大.設計方案：學生自主設計.附學生設計的方案： 方案一：將每個同學調查的生日隨機排列成一方陣，然后按某一規(guī)則從中選取50個數(shù)據(jù)進行實驗（如25×20），從某行某列開始，自左而右，自上而下，，選出50個數(shù)）.方案二：把全班每個同學所調查的數(shù)據(jù)寫在紙條上，放在箱子里隨機抽取.方案三：從50個同學手里隨機抽取一個調查數(shù)據(jù)，組成50個數(shù)據(jù).方案四：全班分成10個小組，把每個小組調查數(shù)據(jù)放在一起，打亂次序，隨機抽取5個，然后10個小組的結果放在一組成50個數(shù)據(jù).活動過程指導：（1）節(jié)約時間，生日表示方式簡化成四位數(shù).如“0217”（2）人人參與，大膽發(fā)言、交流、討論從大量的重復試驗活動中感受生日相同的概率較大.（3）激勵學生提出更好的活動方案，如：產(chǎn)生1～365之間某一自然數(shù)隨機數(shù)的方法；分工制作1～365自然數(shù)卡片，放入紙箱隨機抽取一張，記下號碼，放回去，再隨機抽取，直至抽出50張，多次重復試驗，并估計出50人中有2人生日相同的概率，此為模擬試驗.活動評價指導：（1）學生的參與程度，活動過程中的思維方式，與同學合作交流情況.（2）鼓勵思維多樣性.（3）關注學生能否用實驗方法估計一些較復雜隨機事件發(fā)生的概率.（4）關注學生對概率的理解是否全面.（5）關注實驗次數(shù).實際效果：通過以上探索活動，經(jīng)歷了大量重復試驗，能估算出50人中有2人生日相同的概率是多少.約0.9704，很大.結果可解釋《紅樓夢》生日相同“遇的巧”的問題.這個結果出人意料之處就在于其結果違反了人們的直覺：人們往往覺得兩人生日相同是一種可能性不大的事情，計算結果卻是：如果人數(shù)不少于是23人，這種可能性就達50%.看下表是“幾個人中至少有2人生日相同”的概率大小表：npnpnpnpnp200.4114290.6810380.8641470.9548560.9883 210.4437300.7105390.8781480.9606570.9901220.4757310.7305400.8912490.9658580.9917230.5073320.7533410.9032500.9704590.9930240.5383330.7750420.9140510.9744600.9941250.5687340.7953430.9239520.9780??260.5982350.8144440.9329530.9811??270.6269360.8322450.9410540.9839??280.6545370.8487460.9483550.9836??第四環(huán)節(jié)：練習提高內容：課本P168隨堂練習課外調查的10個人的生肖分別是什么？他們中有2人的生肖相同嗎？6個人中呢？利用全班的調查數(shù)據(jù)設計一個方案，估計6個人中有2個人生肖相同的概率.目的：本問題與前面生日問題類似，借助于課外調查的數(shù)據(jù)再次進行有關問題的概率估算，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗，直觀感受較復雜事件的概率問題.設計方案：模仿生日問題，學生自主設計，以上方案僅供參考.方案一：全班分6人一小組試驗（多出人員可一人當2人，3人），每人隨機寫下自己調查的一個生肖，小組長匯總收集數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果，課代表收集全班數(shù)據(jù)，估算6人中有2人生肖相同的概率.方案二：將全班調查好所有結果寫在紙條上，放進箱子里隨機抽取6張.方案三：生肖結果用數(shù)字代替排成方陣.活動過程指導：（1）簡化過程，把生肖按順序用1-12個數(shù)據(jù)代替.（2）鼓勵學生積極大膽發(fā)表自己的見解.（3）在討論、交流過程中使學生進一步感受大量重復試驗中頻率穩(wěn)定于概率的意義.（4）激勵學生探索該問題的模擬試驗.活動評價指導： （1）主要是積極評價，鼓勵學生思維的多樣性.（2）看學生能否用試驗的方法估計一些復雜隨機事件的概率.（3）關注學生對概率意義的理解是否全面.（4）此問題的理論概率約0.78，在此不要求學生把結果精確到那一位.第五環(huán)節(jié)：課時小結內容：師生共同總結本節(jié)內容目的：回顧本節(jié)教學目標學生先自我總結，然后師生共析：本節(jié)課經(jīng)歷了調查、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、進行試驗、統(tǒng)計結果，合作交流的過程，知道了用大量的實驗頻率來估計，一些復雜的隨機事件的概率，當試驗次數(shù)趙多時，實驗頻率穩(wěn)定于理論概率，還知道了“直覺并不可靠”，本節(jié)“生日相同的概率”50人中有2人生日相同的概率竟高達0.97，這有違我們的“常識”。實際上，生活中有很多類似巧合，實則平凡且極為平凡的現(xiàn)象，如果我們從科學的角度通過實驗估計隨機事件發(fā)生的概率，用知識來武裝我們的頭腦，我們就會“透過現(xiàn)象看本質”，也不會受別有用心的人的欺騙，從而破除迷信，樹立正確的唯物主義世界觀.第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1、課本習題2、收集有關概率的文章第七環(huán)節(jié)：活動探究本環(huán)節(jié)對學生的思維要求較高，僅供給部分學有余力的學生閱讀和提高，并非對全體同學的要求。內容:1、用“樹狀圖”原理，求班上60名同學中至少有2人生日相同的概率先求出“60人中沒有兩人生日相同的概率” 365×364×363×…×306P(A)=——————————————=0.0059365×365×365×…×365則60人中有2人生日相同的概率為：P=1-P(A)=1-0.0059=0.9941即“60人中有2人生日相同的概率”為0.9941如果班人有45人或55人等，可類似地進行計算2、用“樹狀圖”原理，求6人中至少有2人生肖相同的概率先求出“6人中沒有2人生日相同的概率”：12×11×10×9×8×7P(A)=———————————=0.2212×12×12×12×12×12則“6人中有2人生肖相同的概率”為：P=1-P(A)=1-0.22=0.78目的：鞏固并拓展學生學習應用知識的能力.四、教學反思1、教材是教與學的素材，可以充分利用、拓展、豐富、創(chuàng)新.本節(jié)課教材提出的生日相同的問題，教師可充分發(fā)揮學生的想象能力，發(fā)散思維，設計多種多樣的活動方案，完成本節(jié)教學任務，更重要的是發(fā)展學生的學習能力，合作與交流的能力.2、學生是學習的主體，課堂也就應以學生為主體，教師起主導作用，多用積極的評價、恰當?shù)囊龑?，激發(fā)學生的學習興趣，提高學習數(shù)學的積極性、主動性，讓學生成為課堂學習的主人.3、應注意的問題：①由于設計活動方案各異，可能時間上會緊張，需要在活動過程中老師加以引導，以便節(jié)省時間，按計劃完成本節(jié)課教學任務.②對學困生在小組里的表現(xiàn)應予以更多關注，多鼓勵其參與，并給予指導，使其完成一些力所能及的任務，產(chǎn)生成就感.